基本概念 ¶
格(Lattice) 的直观感受是 \(n\) 维空间中具有周期性的点的集合。其正式的定义如下：
Definition
(i) 给定 \(n\) 个线性无关向量 \(b_1, b_2, \cdots, b_n \in \mathbb{R}^n\)，由这些向量张成的所有整系数线性组合的集合称为格，即
\[
\mathcal{L}(b_1, b_2, \cdots, b_n) = \left\{ \sum_{i=1}^n a_i b_i \mid a_i \in \mathbb{Z} \right\}
\]
\(b_1, b_2, \cdots, b_n\) 称为格的基. 如果我们定义 \(B\) 为 \(m \times n\) 的矩阵，其列向量为 \(b_1, b_2, \cdots, b_n\)，则由 \(B\) 产生的格为
\[
\mathcal{L}(B) = \left\{ B \cdot X \mid X \in \mathbb{Z}^n \right\}
\]
称格的秩为 \(n\)，维数为 \(m\). 如果 \(m = n\)，则称该格为满格. 在此后的部分，我们只考虑满格 .
(ii) 格 \(\mathcal{L}(B)\) 中基向量的所有实系数线性组合所形成的集合称为这组基向量张成的空间，
\[
\operatorname{span}(\mathcal{L}(B)) = \operatorname{span}(B) = \left\{ B \cdot Y \mid Y \in \mathbb{R}^n \right\}
\]
(iii) 对于任意格基，定义
\[
\mathcal{P}(B) = \left\{ B \cdot X \mid X \in \mathbb{R}^n, 0 \leqslant x_i < 1 \right\}
\]
为此格的基础区域(Fundamental Parallelepiped)，因为将其放置在所有格点处可以形成整个空间 .
构建出一个格之后，我们通过线性代数的学习，很容易想到关于格的基的逆问题，即
Question
如何判断给定的向量组是否是给定格的一组基？
事实上，我们有如下引理：
Lemma
设 \(\Lambda\) 为秩为 \(n\) 的格，设 \(b_1, b_2, \cdots, b_n \in \Lambda\) 为 \(n\) 个线性无关的格向量，则 \(b_1, b_2, \cdots, b_n\) 是 \(\Lambda\) 的一组基当且仅当 \(\mathcal{P}(b_1, b_2, \cdots, b_n) \cap \Lambda = \{ 0 \}\).