二项堆 ¶

二项堆实际上是一个森林，其中的每一棵树被称为二项树，具有如下性质：

Definition

一个二项堆中的每棵二项树具有不同的高度；
高度为 $0$ 的二项树是一棵单结点树，高度为 $k$ 的二项树 $B_k$ 通过将一棵二项树 $B_{k−1} 附接到另一棵二项树 $B_{k−1}$ 的根上而构成；
每棵二项树都保持堆的序性质，例如是最小堆则根结点最小，孩子都比父亲大。

二项树 $B_k$ 实际上就是由一个带有儿子 $B_0, B_1, \ldots, B_{k−1}$ 的根组成。我们很容易根据定义归纳得到高度为 $k$ 的二项树恰好有 $2^k$ 个节点，而且在深度 $d$ 处的节点数恰好就是二项系数 $\binom{k}{d}$. 每个二项堆也对应着一个唯一的二进制表示，例如 $13 = 1101$ 对应着 $B_3, B_2, B_0$ 三棵二项树。

二项堆的操作 ¶

Merge¶

因为二项堆对应着唯一的二进制数，所以合并的操作实际上是将两个二进制数相加，进位的过程就是合并的过程。因为二项树并不是二叉的，所以树的结构使用的是 First-Child Next-Sibling 表示法，并且从左到右子树的高度递减，这样合并的时候就不需要遍历所有的结点，直到最后才能合并。考虑到二进制加法的运算，我们可以得到时间复杂度为 $O(\log n)$.

FindMin¶

因为最小值只可能存在于根结点，所以 FindMin 的时间复杂度是 $O(\log n)$.

DeleteMin¶

由 FindMin 以及 Merge 的时间复杂度可知，DeleteMin 的时间复杂度也是 $O(\log n)$.

Build¶

我们采取核算法计算二项堆 Build 操作的摊还时间复杂度。因为二进制加法最低位每次 $+1$ 就会翻转 bit，而次低位两次 $+1$ 才会翻转 bit，所以 $n$ 次操作的时间复杂度与

\[ n + \dfrac{n}{2} + \dfrac{n}{4} + \ldots + \dfrac{n}{2^{\lfloor \log n \rfloor} + 1} \]

成正比，所以时间复杂度为 $O(n)$.