分治 ¶
主定理 ¶
分治法递归的时间复杂度递推公式具有如下形式：
其中 \(a\) 是分了多少个子问题，\(b\) 与子问题划分方式有关，是子问题输入长度的收缩因子，\(f(n)\) 则是合并各个子问题的解需要的时间。
递归树 ¶
主定理形式 ¶
Theorem
考虑以下形式
- 若对于某个 \(\varepsilon > 0\)，有 \(f(n) = O(n^{\log_b a - \varepsilon})\)，则 \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a})\)；
- 若 \(f(n) = \Theta(n^{\log_b a})\)，则 \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)\)；
- 若对于某个 \(\varepsilon > 0\)，有 \(f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})\)，且对于某个常数 \(c < 1\)，有 \(a f(\frac{n}{b}) \leqslant c f(n)\)，则 \(T(n) = \Theta(f(n))\)。
Lemma
- 对于某个常数 \(c > 1\) 有 \(a f(\frac{n}{b}) = c f(n)\)，则 \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a} )\)；
- 若 \(a f(\frac{n}{b}) = f(n)\)，则 \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)\)；
- 若对于某个常数 \(c < 1\) 有 \(a f(\frac{n}{b}) = c f(n)\)，则 \(T(n) = \Theta(f(n))\)。
Theorem
对于递推式 \(T(n) = aT(\frac{n}{b}) + \Theta(n^k \log^p n), a \geqslant 1, b > 1, k \geqslant 0, p \geqslant 0\)，
- 若 \(a > b^k\)，则 \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a})\)；
- 若 \(a = b^k\)，则 \(T(n) = \Theta(n^k \log^{p+1} n)\)；
- 若 \(a < b^k\)，则 \(T(n) = \Theta(n^k \log^p n)\)。
最近点对问题 ¶
给定平面上的 \(N\) 个点，找到距离最近的两个点。暴力搜索的时间复杂度为 \(O(N^2)\)，所以我们考虑使用分治法。问题在于我们需要在线性时间内找到跨越中线的点对，否则时间复杂度会退化为 \(O(N^2)\)。
首先先取 \(x\) 坐标来看的中点，其 \(x\) 坐标记为 \(\bar{x}\)，然后考虑 \([\bar{x} - \delta, \bar{x} + \delta]\) （\(\delta\) 是左右两半中的最近点对距离）区间内的点 \(q_1, q_2, \ldots, q_l\)，我们可以将这些点按照 \(y\) 坐标排序，设 \(q_i\) 的 \(y\) 坐标为 \(y_i\)，那我们只需要对 \(q_i\) 检查 \(x\) 坐标在 \([\bar{x} - \delta, \bar{x} + \delta]\) 内，\(y\) 坐标在 \([y_i, y_i + \delta]\) 内的点即可。将这个长方形区域分为平均分割为 8 块，则每块内最多出现 1 个点，否则会存在单侧的点对距离小于 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \delta\)，与 \(\delta\) 的定义矛盾。所以对于每个 \(q_i\)，我们只需找向上 7 个点即可，所以找分离最近点对的时间复杂度是线性的。