1 群定义 循环群 ¶
群是抽象代数中研究的第一个代数结构，也是研究最深入的一个。
定义
称一具备二元运算的非空集合 \(G\) 为一半群(Semigroup)，若其满足：
- 结合 (associative)：\(\forall a,b,c \in G, (ab)c = a(bc)\);
称一半群为幺半群(Monoid)，若其满足：
- 幺元 (identity element)：\(\exists e \in G, \forall a \in G, ea = ae = a\);
称一幺半群为群(Group)，若其满足：
- 逆元 (inverse element)：\(\forall a \in G, \exists b \in G, ab = ba = e\)，将 \(b\) 记作 \(a^{-1}\)，并称为 \(a\) 的逆 .
称以上任何一个结构称为交换的(Abelian/Commutative)，若其满足：
- 交换 (commutative)：\(\forall a, b \in G, ab = ba\).
以下是交换律和结合律的推广
定义
Meaningful Product of \(a_1, \ldots, a_n\): If \(n = 1\), the only meaningful product is \(a_1\); else a meaningful product is defined to be any product of the form \((a_1\ldots a_m)(a_{m + 1}\ldots a_n)\) where \(m < n\) and \((a_1\ldots a_m)\) and \((a_{m + 1}\ldots a_n)\) are meaningful products of \(m\) and \(n - m\) elements respectively.
Standard n product \(\prod_{i = 1}^n a_i\) of \(a_1, \ldots, a_n\):
定理
If \(G\) is a semigroup and \(a_1, a_2, \ldots , a_n \in G\), then
Generalized Associative Law: Any two meaningful products of \(a_1, a_2, \ldots , a_n \in G\) in this order are equal.
If \(G\) is also commutative, then
Generalized Commutative Law: For any permutation \(i_1, \ldots, i_n\) of \(1, \ldots, n\), \(a_1a_2\cdots a_n = a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}\).
由此我们可以定义幂
定义
设 \(G\) 为一半群，\(a \in G\) 且 \(n \in N^*\). 则 \(a^n \in G\) 定义为
若半群 \(G\) 是一幺半群，则 \(a^0 := e\).
若幺半群 \(G\) 是一群，那么 \(\forall n \in N^*\), \(a^{-n} := (a^{-1})^n\).
对应的运算。
引理
设 \(G\) 是一群 / 幺半群 / 半群，\(a \in G\)，那么 \(\forall m, n \in Z/N/N^*\):
-
\(a^ma^n = a^{m + n}\);
-
\((a^m)^n = a^{mn}\).
以下为群的一些基本性质。
引理
-
若 \(G\) 是一（幺半）群，则其幺元 \(e\) 唯一 .
-
若 \(G\) 是一群，则
i. 群中幂等的元素只有幺元：\(c \in G\) and \(c^2 = c \Rightarrow c = e\);
ii. 左右消去律 (left and right cancellation)：\(\forall a, b, c \in G, ab = ac \Rightarrow b = c\) and \(ba = ca \Rightarrow b = c\);
iii. \(\forall a, b \in G\)，方程 \(ax = b\) 和 \(ya = b\) 有唯一解 \(x = a^{-1}b\) 和 \(y = ba^{-1}\);
iv. \(\forall a \in G, (a^{-1})^{-1} = a\);
v. \(\forall a, b \in G, (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\);
vi. 群中任一元素的逆元唯一 .
半群基础上的群等价定义。
定理
设 \(G\) 为一半群，则以下条件等价：
-
\(G\) 是一群 .
-
单边定义：
i. \(\forall a \in G, \exists e \in G, s.t. \enspace ea = a\);
ii. \(\forall a \in G, \exists b \in G, s.t. \enspace ba = e\).
-
方程定义：\(\forall a, b \in G\)，方程 \(ax = b\) 和 \(ya = b\) 均在 \(G\) 中有解 .
以下是子群的定义。
定义
设 \(G\) 是一群，\(H\) 是其一非空子集，并且在定义在 \(G\) 上的二元运算下封闭(Closed). 若 \(H\) 与此二元运算满足群的条件，则称 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群 (Subgroup)，记作 \(H < G\).
\(G\) 与 \(\langle e \rangle\) 被称作群 \(G\) 的平凡子群(Trivial Subgroup)，除此之外的 \(G\) 的子群被称作非平凡子群(Proper Subgroup).
子群的等价条件。
定理
设 \(H\) 是群 \(G\) 的一个非空子集，那么 \(H\) 是 \(G\) 的子群等价于 \(\forall a, b \in G, ab^{-1} \in H\).
证明
\((\Leftarrow)\) \(\exists a \in H\) 便有 \(e = aa^{-1} \in H\)，进而 \(\forall b \in H, b^{-1} = eb^{-1} \in H\)，所以 \(ab = a(b^{-1})^{-1} \in H\).
\((\Rightarrow)\) 是平凡的 .
下面是个承上启下的引理。
引理
设 \(G\) 是一群， \(\{H_i \mid i \in I\}\) 是一族 \(G\) 的子群，则 \(\cap_{i \in I} H_i\) 是 \(G\) 的一个子群 .
它确保了生成子群的良定义。
定义
设 \(G\) 是一群，\(X\) 是 \(G\) 一子集，\(\{H_i \mid i \in I\}\) 是 \(G\) 所有包含 \(X\) 的子群构成的集合 . 从而 \(\cap_{i \in I} H_i\) 便定义为由集合 \(X\) 生成的子群，记作 \(\langle X \rangle\)，其是包含集合 \(X\) 的最小子群 . 集合 \(X\) 中的元素被称为子群 \(\langle X \rangle\) 的生成元(Geneator). 若 \(X\) 是有限集，则称 \(\langle X \rangle\) 是有限生成的(Finitely Generated). 特别地，如果 \(X\) 是单元素集，即 \(X = \{a\}\)，由 \(a\) 生成的子群 \(\langle a \rangle\) 被称为循环子群(Cyclic Subgroup).
其结构可以这样描述。
定理
设 \(G\) 是一群，\(X\) 是其一非空子集，则由 \(X\) 生成的子群 \(\langle X \rangle\) 是由所有有限乘积 \(a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_t^{n_t} (a_i \in X; n_i \in Z)\) 组成 . 对循环群而言，\(\forall a \in G, \langle a \rangle = \{a^n \mid n \in Z\}\)
证明
设 \(H = \{a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_t^{n_t} \mid a_i \in X, n_i \in Z\}\). 首先 \(H < G\)，然后 \(\forall a \in H, a \in H_i, i \in I\)，所以 \(a \in \cap_{i \in I} H_i = \langle X \rangle\)，有 \(H < \langle X \rangle\). 而显然 \(X \subset H, \exists i_0 \in I, s.t. H_{i_0} = H\)，又 \(\langle X \rangle = \cap_{i \in I} H_i\)，所以 \(\langle X \rangle < H\). 综上 \(\langle X \rangle = H = \{a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_t^{n_t} \mid a_i \in X, n_i \in Z\}\). 由此，循环群的结论便显然了 .
上面探究了一族子群的交构成的子群，下面轮到一族子群的并，但其并不能构成子群，但我们可以从一族子群的并生成一子群。设一族子群 \(\{H_i \mid i \in I\}\)，生成的子群 \(\langle \cup_{i \in I} H_i \rangle\) 被称为由一族群 \(\{H_i \mid i \in I\}\) 生成的子群(Subgroup Generated by the Groups \(\{H_i \mid i \in I\}\))。特别地，若只有两个子群 \(H\) 和 \(K\) 作并生成，则被称为二者的联合(join)，记作 \(H \vee K\)。
从群生成新的群还有如下的方法。
定义
设 \(G\) 和 \(H\) 是群，幺元分别为 \(e_G, e_H\). \(G\) 和 \(H\) 的直积(Direct Product) 定义为以 \(G \times H\) 为支集，具备以下二元运算的群 .
下面是关于等价关系进一步的描述。
定理
设 \(\mathbf{R}\)(~) 是幺半群 \(G\) 上的一个等价关系，满足 \(\forall a_i, b_i \in G, a_1\) ~ \(a_2\) 和 \(b_1\) ~ \(b_2\) 有 \(a_1b_1\) ~ \(a_2b_2\). 那么 \(G\) 在 \(R\) 下的所有等价类组成的集合 \(G/R\) 与二元运算 \((\bar{a})(\bar{b}) = \overline{ab}\) 构成一个幺半群 . 如果 \(G\) 是一个群，那么 \(G/R\) 也是群；如果 \(G\) 可交换，那么 \(G/R\) 可交换 . 满足此定理的等价关系也被称为同余关系(Congruence Relation).
示例
- 在整数加法群 \(Z\) 上定义模 \(m\) (module \(m\)) 关系得到的群 \(Z_m = \{\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{m - 1}\}\)(The (additive) group of integers modulo \(m\)).
- 对有理数加法群 \(Q\) 上定义 \(a\) ~ \(b \Leftrightarrow a - b \in Z\) 得到的群 \(Q/Z\)(the group of rationals modulo one).
先介绍整数加法群子群的性质。
定理
整数加法群 \(Z\) 的任一子群 \(H\) 都是循环的，且 \(H = \langle 0 \rangle\) 或 \(H = \langle m \rangle\)，\(m\) 是 \(H\) 中的最小正整数 . 若 \(H \neq \langle 0 \rangle\)，则 \(H\) 是无限群 .
证明
若 \(H = \langle 0 \rangle\)，则已证 .
若 \(H\) 中的最小正整数为 \(m\)，则必有 \(\langle m \rangle = \{km \mid k \in Z\} \subset H\). 而若 \(h \in H\)，则由带余除法有 \(h = qm + r, q, r \in Z, 0 \leqslant r < m\). 进而有 \(r = h - qm \in H\)，所以必有 \(r = 0, h = qm\)，否则与 \(m\) 是 \(H\) 中最小正整数矛盾. 故 \(H \subset \langle m \rangle\)，即 \(H = \langle m \rangle\).
接下来是阶(order) 的定义和定理。
定义
- 群的阶：设 \(G\) 是一群，则其阶等同于其基数，记作 \(\lvert G \rvert\).
- 元素的阶：设 \(G\) 是一群，\(a \in G\)，\(a\) 的阶就是循环子群 \(\langle a \rangle\) 的阶，记作 \(\lvert a \rvert\).
引理
设 \(G\) 是一群且 \(a \in G\).
-
\(\lvert a \rvert\) 无限：
i. \(a^k = e \Leftrightarrow k = 0\);
ii. \(a^k, k \in Z\) 是互异的. -
\(\lvert a \rvert = m > 0\):
i. \(m\) 是满足 \(a^m = e\) 的最小正整数；
ii. \(a^k = e \Leftrightarrow m \mid k\);
iii. \(a^r = a^s \Leftrightarrow r \equiv s \pmod m\);
iv. \(\langle a \rangle = \{a, a^2, \ldots, a^{m -1}, a^m\}\) 且所有元素互异；
v. 对于任一 \(k\) 满足 \(k \mid m, \langle a^k \rangle = m/k\).
以下是关于循环群生成元的定理。
定理
设 \(G = \langle a \rangle\) 是一个循环群 . 若 \(G\) 是一个无限群，那么 \(G\) 仅有的生成元便是 \(a\) 和 \(a^{-1}\). 若 \(G\) 是有限群且阶为 \(m\)，那么 \(a^k\) 是 \(G\) 的生成元等价于 \((k, m) = 1\).
证明
仅证明有限群 .
若 \((k, m) = 1\)，由裴蜀定理(Bézout's lemma)，\(\exists c, d \in Z, s.t. ck + dm = 1\)，从而有 \((a^k)^c = a^{ck} = a^{1- dm} = a/ a^{dm} = a/(a^m)^d = a/e^d = a\)，进而 \((a^k)^{cm} = ((a^k)^c)^m = a^m = e\)，\(a^k\) 是 \(G\) 的生成元.
若 \((k, m) = r > 1\)，则设 \(n = m/r < m, (a^k)^n = a^{km/r} = (a^m)^{k/r} = e^{k/r} = e\). 故 \(a^k\) 不是 \(G\) 的生成元.