群作用 ¶
定义
群 \(G\) 作用在集合 \(S\) 上，是指存在一函数 \(G \times S \rightarrow S\)（常被记作 \((g,x) \mapsto gx\)
示例
设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，群 \(H\) 在集合 \(G\) 上有如下的这样一种作用：\((h, x) \mapsto hxh^{-1}\). 这种作用被称作共轭(conjugation)，元素 \(hxh^{-1}\) 被称作 \(x\) 的一个共轭 . 若 \(K\) 是 \(G\) 的任意子群，\(h \in H\), 则 \(hKh^{-1}\) 是 \(G\) 的一个同构于 \(K\) 的子群，群 \(hKh^{-1}\) 也称共轭于 \(K\).
我们可以看一下共轭作用在对称群上的作用。
示例
考虑 \(S_5\) 上的置换 \(\sigma = (1345), \tau = (125)\)，\(\tau \sigma \tau^{-1} = (125)(1345)(521) = (2341)\)，会发现置换上的共轭作用实际上进行了某种替换的作用，即 \(\tau(i_1i_2\cdots i_r)\tau^{-1} = (\tau(i_1)\tau(i_2)\cdots \tau(i_r))\).
在此基础上我们便可以分析 \(S_n\) 的生成元 .
定理
(\(S_n\) 的生成元 ) (i) \(S_n\) 可以由 \(\{(1 \ 2), (1 \ 3), \ldots ,(1 \ n)\}\) 生成；
(ii) \(S_n\) 可以由 \(\{(1 \ 2), (2 \ 3), \ldots, (n-1 \ n)\}\) 生成；
(iii) \(S_n\) 可以由 \(\{(1 \ 2 \ 3 \cdots \ n), (1 \ 2)\}\) 生成.
定理
设群 \(G\) 有一作用于 \(S\) 上，则：
(i) 在 \(S\) 上，由
定义的关系是等价关系 .
(ii) 对任一 \(x \in S\), \(G_x = \{g \in G \mid gx = x\}\) 是 \(G\) 的一个子群.
以上定理中定义的等价关系被称作 \(G\) 在 \(S\) 上的轨道(orbit), 对 \(x \in S\)，其相应的轨道被记作 \(\bar{x}\). 子群 \(G_x\) 被称作 \(x\) 的稳定化子(stabilizer)。事实上，轨道代表元素 \(x\) 在集合 \(G\) 的作用下能到达的位置，稳定化子则是对于任意 \(S\) 中的元素 \(x\)，\(g \in G\) 都不会将其改变，这是横向与纵向的区别。
示例
(i) 若子群 \(H\) 共轭作用于 \(G\) 上，那么稳定化子 \(H_x = \{h \in H \mid hxh^{-1} = x\} = \{h \in H \mid hx = xh\}\) 被称作 \(x\) 在 \(H\) 中的中心化子(centralizer)，记作 \(C_H(x)\), 如果 \(H = G\), 则 \(C_G(x)\) 简称为 \(x\) 的中心化子。
(ii) 若 \(H\) 共轭作用于 \(G\) 的所有子群构成的集合 \(S\) 上，则 \(\{h \in H \mid hKh^{-1} = K\}\) 被叫做 \(K\) 在 \(H\) 中的正规化子(normalizer)，记作 \(N_H(K)\). 群 \(N_G(K)\) 简称为 \(K\) 的正规化子 . 显然 \(K\) 是 \(N_G(K)\) 的正规子群 , \(K\) 是 \(G\) 的正规子群等价于 \(N_G(K) = G\).
定理
若群 \(G\) 作用在 \(S\) 上，则 \(x \in S\) 的轨道的基数是指标 \([G : G_x]\).
证明
设 \(g, h \in G\). 若 \(gx = hx\)，则有
所以由 \(gG_x \mapsto gx\) 给出的映射可定义出 \(G_x\) 在 \(G\) 中的全体陪集构成的集合与轨道 \(\bar{x} = \{gx \mid g \in G\}\) 上的元素建立了一一对应，所以 \(\lvert \bar{x} \rvert = [G: G_x]\).
推论
设 \(G\) 是一个有限群，\(K\) 是 \(G\) 的一个子群 .
(i) 对于 \(x \in G\)，其共轭类中的元素个数是 \([G : C_G(x)]\)，且整除 \(\lvert G \rvert\);
(ii) (class equation) 若 \(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_n, x_i \in G\) 是 \(G\) 的互异共轭类，则
(iii) \(G\) 中共轭于 \(K\) 的子群数目是 \([G : N_G(K)]\)，且整除 \(\lvert G \rvert\).
定理
指定群作用 \(G \times S \rightarrow S\) 诱导一群同态 \(G \rightarrow A(S)\), \(A(S)\) 是由 \(S\) 的全体置换构成的群 .
证明
若 \(g \in G\)，则定义 \(\tau_g: S \rightarrow S\)，\(x \mapsto gx\). 因为 \(x = g(g^{-1}x)\)，所以 \(\tau_g\) 是满射 . 同理，若 \(gx = gy(x, y \in S)\)，则 \(x = g^{-1}(gx) = g^{-1}(gy) = y\)，所以 \(\tau_g\) 是单射，进而是双射，也就是 \(S\) 的一个置换 . 而 \(\forall g, g' \in G, \tau_{gg'} = \tau_g\tau_{g'}: S \rightarrow S\)，所以映射 \(\tau: G \rightarrow A(S)\), \(g \mapsto \tau_g\) 是一群同态 .
推论
(i) (Cayley) 任何群 \(G\) 都能嵌入为 \(A(G)\) 的子群 . 具体而言，对任意群 \(G\)，存在单态 \(G \rightarrow A(G)\). 因此每个群都同构于一置换群，每个有限群都同构于 \(S_n\) 的一个子群，\(n = \lvert G \rvert\).
(ii) 设 \(G\) 是一群，则
(a) 对任一 \(g \in G\)，经 \(g\) 共轭后诱导一个 \(G\) 的自同态.
(b) 存在群同态 \(G \rightarrow Aut \ G\)，其核为 \(C(G) = \{g \in G \mid gx = xg, \forall x \in G\}\).
我们称 \(g\) 诱导的这一同构为群 \(G\) 的内自同构(inner automorphism)，\(C(G)\) 被称为 \(G\) 的中心(center). \(g \in C(G)\) 等价于 \(g\) 的共轭类中仅包含 \(g\) 这一个元素，所以若 \(G\) 是有限的，且 \(x \in C(G)\)，则有 \([G : C_G(x)] = 1\). 进而，类方程可被改写为如下形式：
其中 \(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_m, x_i \in G - C(G)\) 是 \(G\) 中互异的共轭类，且 \([G : C_G(x_i)] > 1\).
推论
(i) 设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，且 \(G\) 在 \(H\) 的全体左陪集构成的集合 \(S\) 上进行左平移作用，则诱导同构 \(G \rightarrow A(S)\) 的核包含在 \(H\) 中 .
(ii) 设 \(H\) 是 \(G\) 中指标为 \(n\) 的子群，并且 \(H\) 中不包含 \(G\) 中的非平凡正规子群，那么 \(G\) 同构于 \(S_n\) 的某个子群.
(iii) 设 \(H\) 是有限群 \(G\) 中指标为 \(p\) 的子群，\(p\) 是 \(\lvert G \rvert\) 的最小素因子，则 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群.
证明
(i) 诱导同构 \(\tau: G \rightarrow A(S)\) 由 \(g \mapsto \tau_g\) 给出 . 而 \(\tau_g: S \rightarrow S\)，\(\tau_g(xH) = gxH\). 若 \(g \in \ker \tau\)，有 \(\tau_g = 1_S\)，进而 \(\forall x \in G, gxH = xH\). 特别地，当 \(x = e\) 时，\(geH = eH = H\)，所以 \(g \in H\).
(ii) \(\tau: G \rightarrow A(S)\), \(\ker \tau\) 是 \(G\) 的正规子群，且由 (i) 知其包含在 \(H\) 中，所以 \(\ker \tau = \langle e \rangle\)，\(G \rightarrow A(S)\) 是单同态. 因此 \(G\) 同构于 \(H\) 的 \(n\) 个左陪集上的置换群的某个子群（这是单同态保证的），而 \(H\) 的 \(n\) 个左陪集上的置换群显然同构于 \(S_n\).
(iii) 设 \(S\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的全体左陪集构成的集合. 因为 \([G : H] = p\)，故 \(A(S) \cong S_p\). 设 \(K\) 是同态 \(\tau: G \rightarrow A(S)\) 的核，则 \(K\) 在 \(G\) 中正规且包含在 \(H\) 中，且 \(G/K\) 同构于 \(S_p\) 的某个子群（事实上，应该同构于 \(\operatorname{\mathrm{Im}} \tau\)）. 所以 \(\lvert G/K \rvert = [G : K] \mid \lvert S_p \rvert = p!\). 而 \([G : K]\) 的每个因子一定整除 \(\lvert G \rvert(\lvert G \rvert = \lvert K \rvert [G : K])\). 但除 \(1\) 之外没有比 \(p\) 更小的整除 \(\lvert G \rvert\) 的数，故 \([G : K] = p\) 或 \([G : K] = 1\). 而 \([G : K] = [G: H][H : K] = p[H : K] \geqslant p\)，所以 \([G : K] = p, [H : K] = 1\)，也就有 \(H = K\). 考虑到 \(K \triangleleft G,\) 所以 \(H \triangleleft G\).