Sylow 定理 有限群分类 ¶
引理
若一群 \(H\) 的阶为 \(p^n\)，\(p\) 是素数，其作用在一有限集 \(S\) 上 . 定义集合 \(S_0 = \{x \in S \mid hx = x, \forall h \in H\}\)，则 \(\lvert S \rvert \equiv \lvert S_0 \rvert \pmod p\).
证明
若 \(x \in S_0\)，则轨道 \(\bar{x}\) 只包含一个元素（与前一节中 \(g \in C(G)\) 以及共轭类的关系一致
定理
(Cauchy) 若 \(G\) 是一阶被素数 \(p\) 整除的有限群，则 \(G\) 中有一元素阶为 \(p\).
证明
设 \(S = \{(a_1, a_2, \ldots, a_p) \mid a_i \in G, a_1a_2\cdots a_p = e\}\). 因为 \(a_p = (a_1a_2\cdots a_{p-1})^{-1}\)，所以 \(\lvert S \rvert = n^{p-1}\)，其中 \(n = \lvert G \rvert\). 因为 \(p \mid n\)，所以 \(\lvert S \rvert \equiv 0 \pmod p\). 设群 \(Z_{p}\) 在集合 \(S\) 上的作用为循环置换，即 \(k \in Z_p, k(a_1, a_2, \ldots, a_p) = (a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots, a_p, a_1, \ldots, a_k)\).
验证 \((a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots, a_p, a_1, \ldots, a_k) \in S\). 令 \((a_1a_2\cdots a_k) = a, (a_{k+1}a_{k+2}\cdots a_p) = b\)，则 \(ab = e\). 而 \(ba = (a^{-1}a)(ba) = a^{-1}(ab)a = e\)，所以 \((a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots, a_p, a_1, \ldots, a_k) \in S\).
验证对于 \(0, k, k' \in Z_p, x \in S\)，有 \(0x = x, (k + k')x = k(k'x)\). 所以群作用是良定义的.
所以 \((a_1, a_2, \ldots, a_n) \in S_0\) 表明 \(a_1 = a_2 = \cdots a_n\). 显然 \((e, e, \ldots, e) \in S_0\)，所以 \(\lvert S_0 \rvert \neq 0\). 而由上可知 \(0 \equiv \lvert S \rvert \equiv \lvert S_0 \rvert \pmod p\). 故 \(S_0\) 中至少存在 \(p\) 个元素，也就是 \(\exists a \neq e\)，使得 \((a, a, \ldots, a) \in S_0\)，从而 \(a^p = e.\) 因为 \(p\) 是素数，所以 \(\lvert a \rvert = p\).
由此衍生出 \(p\)- 群(p-group) 的定义 .
定义
若群 \(G\) 中的所有元素的阶都是某一固定素数 \(p\) 的幂次，则称群 \(G\) 为 \(p\)- 群 .
若 \(H\) 是 \(G\) 的子群且为一 \(p\)-群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的 \(p\)- 子群(p-subgroup).
推论
(i) 有限群 \(G\) 是 \(p\)- 群等价于 \(\lvert G \rvert\) 是 \(p\) 的幂次 .
(ii) 非平凡有限 \(p\)-群 \(G\) 的中心 \(C(G)\) 含有不止一个元素.
证明
(ii) 考虑类方程
\([G : C_G(x_i)] > 1\)，且 \([G : C_G(x_i)] \mid \lvert G \rvert = p^n\)，所以 \(p \mid [G : C_G(x_i)]\)，且 \(p \mid \lvert G \rvert\). 进而 \(\lvert C(G) \rvert \equiv 0 \pmod p\). 由于 \(\lvert C(G) \rvert \geqslant 1\)，所以 \(C(G)\) 中至少有 \(p\) 个元素 .
引理
(i) 若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的一个 \(p\)- 子群，那么 \([N_G(H) : H] \equiv [G : H] \pmod p\).
(ii) 若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的一个 \(p\)-子群，且 \(p\) 整除 \([G : H]\)，则 \(N_G(H) \neq H\).
证明
(i) 考虑 \(S\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中全体左陪集构成的集合，且 \(H\) 在 \(S\) 上的作用是左平移，则 \(\lvert S \rvert = [G : H]\)，且
进而 \(x^{-1}Hx = H\)，也就有 \(xHx^{-1} = H\)，所以 \(x \in N_G(H)\). \(\lvert S_0 \rvert\) 是陪集 \(xH(x \in N_G(H))\) 的个数，即 \(\lvert S_0 \rvert = [N_G(H) : H]\). 进而 \([N_G(H) : H] = \lvert S_0 \rvert \equiv \lvert S \rvert = [G : H] \pmod p\).
(ii) 是 (i) 的直接推论.
\(\star\) 定理
(First Sylow Theorem) 设 \(G\) 是一阶为 \(p^nm\) 的群，\(n \geqslant 1\)，\(p\) 是一素数，且 \((p, m) = 1\). 则对任一 \(1 \leqslant i \leqslant n\)，\(G\) 均包含 \(p^i\) 阶子群，并且 \(G\) 的每个 \(p^i(i < n)\) 阶子群均是某个 \(p^{i+1}\) 阶子群的正规子群 .
证明
因为 \(p \mid \lvert G \rvert\)，所以由 Cauchy 可知 \(G\) 包含一个 \(p\) 阶元素 \(a\)，也就包含 \(p\) 阶子群 \(\langle a \rangle\).
现归纳假设 \(H\) 是 \(G\) 的 \(p^i\) 阶子群，\(1 \leqslant i < n\). 所以 \(p \mid [G : H]\). 而 \(H\) 是 \(N_G(H)\) 的正规子群. 由上述两引理可知 \(H \neq N_G(H)\) 且 \(1 < \lvert N_G(H)/H \rvert = [H_G(H) : H] \equiv [G : H] \equiv 0 \pmod p\). 所以 \(p \mid \lvert N_G(H)/H \rvert\).
由 Cauchy 可知 \(N_G(H)/H\) 包含一 \(p\) 阶子群，此子群具有形式 \(H_1/H\)，其中 \(H_1\) 是 \(N_G(H)\) 的子群并且 \(H_1\) 包含 \(H\). 因为 \(H \triangleleft N_G(H)\)，所以 \(H \triangleleft H_1\). 最终 \(\lvert H_1 \rvert = \lvert H \rvert \lvert H_1/H \rvert = p^ip = p^{i+1}\).
进而，\(G\) 的一个子群 \(P\) 被称为 Sylow \(p\)- 子群(Sylow p-subgroup)，若其是 \(G\) 中最大的 \(p\)- 子群 . 进而每个 \(p\)- 子群均包含在某个 Sylow \(p\)- 子群中 . 上一定理表明，对于任一素数 \(p \mid \lvert G \rvert\)，有限群 \(G\) 必有非平凡的 Sylow \(p\)- 子群 .
推论
设 \(G\) 是一阶为 \(p^nm\) 的群，\(n \geqslant 1\)，\(p\) 是一素数，且 \((p, m) = 1\). 设 \(H\) 是 \(G\) 的一个 \(p\)- 子群，则
(i) \(H\) 是 \(G\) 的一个 Sylow \(p\)-子群等价于 \(\lvert H \rvert = p^n\).
(ii) Sylow \(p\)-子群的每个共轭也是 Sylow \(p\)-子群.
(iii) 如果 \(G\) 只有一个 Sylow \(p\)-子群 \(P\)，则 \(P \triangleleft G\).
证明
(ii) 引理：若 \(H < G\)，\(a \in G\)，则 \(aHa^{-1}\) 是 \(G\) 的子群，且 \(aHa^{-1} \cong H\).
考虑上一推论的第二条的逆，我们可以得到如下定理：
\(\star\) 定理
(Second Sylow Theorem) 设 \(H\) 是有限群 \(G\) 的一个 \(p\)- 子群，\(P\) 是 \(G\) 的任意 Sylow \(p\)- 子群，那么存在 \(x \in G\)，使得 \(H < xPx^{-1}\). 特别地，\(G\) 的任意两个 Sylow \(p\)- 子群均互为共轭 .
证明
设 \(S\) 是 \(P\) 在 \(G\) 上的全体左陪集构成的集合，\(H\) 在 \(S\) 上的作用是左平移 . 由引理 \(\lvert S_0 \rvert \equiv \lvert S \rvert = [G : P] \pmod p.\) 但 \(p \not \mid [G : P],\) 所以 \(\lvert S_0 \rvert \neq 0\). 即存在 \(xP \in S_0\).
从而有 \(xP \in S_0 \Leftrightarrow hxP = xP(\forall h \in H) \Leftrightarrow x^{-1}hxP = P(\forall h \in H) \Leftrightarrow x^{-1}Hx < P \Leftrightarrow H < xPx^{-1}\).
特别地，如果 \(H\) 是 Sylow \(p\)-子群，则 \(\lvert H \rvert = \lvert P \rvert = \lvert xPx^{-1} \rvert\). 所以 \(H = xPx^{-1}\).
接下来是一些定量的刻画 .
\(\star\) 定理
(Third Sylow Theorem) 设 \(G\) 是一有限群，\(p\) 是一素数，那么 \(G\) 的 Sylow \(p\)- 子群的个数整除 \(\lvert G \rvert\)，且模 \(p\) 余 1.
证明
由 Second Sylow Theorem, Sylow \(p\)- 子群的个数是他们之中任一个（设为 \(P\)）的共轭子群个数，其为 \([G : N_G(P)],\) 是 \(\lvert G \rvert\) 的因子 . 令 \(S\) 为 \(G\) 的全体 Sylow \(p\)- 子群所组成的集合，\(P\) 在 \(S\) 上的作用是共轭，则 \(Q \in S_0 \Leftrightarrow xQx^{-1} = Q(\forall x \in P)\)，其又等价于 \(P < N_G(Q)\). 而 \(P, Q\) 都是 \(G\) 的 Sylow \(p\)- 子群，\(N_G(Q) < G\)，\(Q < N_G(Q)\)，故 \(P, Q\) 均是 \(N_G(Q)\) 的 Sylow \(p\)- 子群，二者在 \(N_G(Q)\) 中共轭 . 但 \(Q\) 在 \(N_G(Q)\) 中正规，所以 \(Q = P\)，\(S_0 = \{P\}\). 而 \(\lvert S \rvert \equiv \lvert S_0 \rvert = 1 \pmod p\)，所以 \(\lvert S \rvert = kp+1\).
定理
若 \(P\) 是有限群 \(G\) 的一个 Sylow \(p\)- 子群，则 \(N_G(N_G(P)) = N_G(P)\).
证明
设 \(N = N_G(P)\)，有 \(P \triangleleft N\). 因为 \(P\) 是 \(G\) 的一个 Sylow \(p\)- 子群，所以 \(P\) 也是 \(N\) 的 Sylow \(p\)- 子群 . 而 \(P \triangleleft N\)，所以 \(P\) 是 \(N\) 中唯一的 Sylow \(p\)- 子群 .
设 \(g \in N_G(N)\)，则 \(gPg^{-1} < gNg^{-1} = N\). 因为 Sylow \(p\)-子群的共轭也是 Sylow \(p\)-子群，所以 \(gPg^{-1}\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群，也是 \(N\) 的 Sylow \(p\)-子群. 而 \(P\) 是 \(N\) 中唯一的 Sylow \(p\)-子群，故 \(gPg^{-1} = P\)，\(g \in N\).
\(g \in N_G(N) \rightarrow g \in N\)，故 \(N_G(N) < N\). 而 \(N < N_G(N)\) 是显然的，故 \(N = N_G(N)\)，也就是 \(N_G(N_G(P)) = N_G(P)\).
以下是对小阶数群和阶与素数相关的群的分类。
推论
(i) 设 \(p\) 和 \(q\) 均为素数，且 \(p>q\). 若 \(q \nmid p-1\)，则所有阶为 \(pq\) 的群均同构于循环群 \(Z_{pq}\). 若 \(q \mid p-1\)，则阶为 \(pq\) 的群存在（同构于）以下两种群：循环群 \(Z_{pq}\) 和由满足以下条件的元素 \(c, d\) 生成的非阿贝尔群 \(K\)，
其中 \(s \not \equiv 1 \pmod p\) 且 \(s^q \equiv 1 \pmod p.\)
(ii) 若 \(p\) 是奇素数，那么所有阶为 \(2p\) 的群要么同构于循环群 \(Z_{2p}\)，要么同构于二面体群 \(D_p\).
(iii) 8 阶非阿贝尔群是（同构于）以下两种群：四元群 \(Q_8\) 和二面体群 \(D_4\).
(iv) 12 阶非阿贝尔群是（同构于）以下三种群：二面体群 \(D_6\)，置换群 \(A_4\)，和 \(T = \langle a, b \rangle\)，其中 \(\lvert a \rvert = 6, b^2 = a^3\)，且 \(ba = a^{-1}b\).
证明
给定 \(pq\) 阶群 \(G\)，由 Cauchy 可知 \(G\) 包含元素 \(a, b\)，\(\lvert a \rvert = p, \lvert b \rvert = q\).
(i) 中的第二种群被称为亚循环群(metacyclic group)