理想 ¶
理想在环中的意义如同正规子群在群中的意义一样。
定义
设 \(R\) 是一环，\(S\) 是其一非空子集，且在 \(R\) 的加法和乘法下封闭 . 若 \(S\) 自身在加法和乘法构成环，则称 \(S\) 为 \(R\) 的一个子环(substring). 若子环 \(I\) 满足
则称 \(I\) 是一个左理想(left ideal).
若子环 \(I\) 满足
则称 \(I\) 是一个右理想(right ideal).
\(I\) 是理想(ideal)，若其既是左理想又是右理想 .
环的中心(center) 类似于群的中心，定义为 \(C = \{c \in R \mid cr = rc, \forall r \in R\}\). 其是 \(R\) 的子环，但不是理想。环同态的核是理想，如同群同态的核是正规子群。
理想有如下的判定定理：
定理
非空集合 \(I\) 是环 \(R\) 的左（右）理想等价于 \(\forall a, b \in I, r \in R\)
(i) \(a, b \in I \Rightarrow a-b \in I\);
(ii) \(a \in I, r \in R \Rightarrow ra \in I(ar \in I)\).
以下部分类似于正规子群的讨论。
推论
设 \(\{A_i \mid i \in I\}\) 是环 \(R\) 的一族左（右）理想，则 \(\cap_{i \in I} A_i\) 也是左（右）理想 .
定义
设 \(X\) 是环 \(R\) 的一个子集，\(\{A_i \mid i \in I\}\) 是所有包含集合 \(X\) 的环 \(R\) 的（左 / 右）理想构成的集合，则 \(\cap_{i \in I} A_i\) 称为 \(X\) 生成的（左 / 右）理想([left/right]ideal generated by \(X\))，记作 \((X)\).
\(X\) 的元素被称作生成元(generator)。若 \(X\) 中的元素是有限个数的，则称 \((X)\) 是有限生成的(finitely generated)。只由单个元素生成的理想称为主理想(principal ideal)，主理想环(principal ideal ring) 是所有理想都是主理想的环。若主理想环也是整环，则称其为主理想整环(principal ideal domain)。
定理
设 \(R\) 是环，\(a \in R, X \subset R\).
(i) 主理想 \((a)\) 为
(ii) 如果 \(R\) 有幺元，则 \((a) = \{\sum_{i = 1}^m r_ias_i \mid r_i, s_i \in R, m \in \mathbb{N}\}\).
(iii) 如果 \(a\) 属于 \(R\) 的中心，则 \((a) = \{ra + na \mid r \in R, n \in \mathbb{Z}\}\).
(iv) \(Ra = \{ra \mid r \in R\}\) 和 \(aR = \{ar \mid r \in R\}\) 分别是 \(R\) 的左理想和右理想，它们可能不包含 \(a\)，但如果 \(R\) 有幺元，则 \(a \in Ra, a \in aR\).
(v) 如果 \(R\) 有幺元，且 \(a\) 属于 \(R\) 的中心，则 \(Ra = aR = (a)\).
(vi) 如果 \(R\) 有幺元而 \(X\) 包含在 \(R\) 的中心中，则理想 \((X) = \{r_1a_1 + \cdots + r_na_n \mid r_i \in R, a_i \in X, n \in \mathbb{N}\}\).
定理
设 \(A_1, A_2, \ldots, A_n, B, C\) 是环 \(R\) 的左（右）理想，则
(i) \(A_1+A_2+\cdots+A_n\) 和 \(A_1A_2\cdots A_n\) 也是左（右）理想;
(ii) \((A+B)+C = A+(B+C)\);
(iii) \((AB)C = ABC = A(BC)\);
(iv) \(B(A_1+A_2+\cdots+A_n) = BA_1+BA_2+\cdots+BA_n\), \((A_1+A_2+\cdots+A_n)C = A_1C+A_2C+\cdots+A_nC\).
接下来照例是商结构的构建 .
定义
设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想，则 \(R/I\) 在如下定义的加法和乘法定义下构成一个环：
若 \(R\) 是交换的或是含幺的，则 \(R/I\) 也是交换的或是含幺的 .
类似地，我们可以将群的同构定理移植到环上：
\(\star\) 定理
(i) 若 \(f : R \rightarrow S\) 是环同态，则 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} f\) 是 \(R\) 的一个理想；反之，若 \(I\) 是 \(R\) 的一个理想，则典范满射 \(\pi: R \rightarrow R/I\) 是一个满同态，且 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} \pi = I\).
(ii) 若 \(f: R \rightarrow S\) 是环同态，而 \(I\) 是 \(R\) 的一个理想，且 \(I \subset \operatorname{\mathrm{Ker}} f\)，则存在唯一的环同态 \(\bar{f}: R/I \rightarrow S\) 使得 \(\bar{f}(a + I) = f(a), \forall a \in R\). 此外，\(\operatorname{\mathrm{Im}} \bar{f} = \operatorname{\mathrm{Im}} f\), \(\operatorname{\mathrm{Ker}} \bar{f} = \operatorname{\mathrm{Ker}} f / I\). 最后，\(\bar{f}\) 是同构等价于 \(f\) 是满同态且 \(I = \operatorname{\mathrm{Ker}} f\).
(iii) (First Isomorphism Theorem) 若 \(f: R \rightarrow S\) 是环同态，则 \(R/\operatorname{\mathrm{Ker}} f \cong \operatorname{\mathrm{Im}} f\).
(iv) 若 \(f: R \rightarrow S\) 是环同态，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想，\(J\) 是 \(S\) 的一个理想，且 \(f(I) \subset J\)，则存在唯一的环同态 \(\bar{f}: R/I \rightarrow S/J\) 使得 \(\bar{f}(a + I) = f(a) + J, \forall a \in R\). \(\bar{f}\) 是同构等价于 \(\operatorname{\mathrm{Im}} f + J = S\) 且 \(f^{-1} (J) \subset I\). 特别地，若 \(f\) 是满同态，\(f(I) = J\)，且 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} f \subset I\)，则 \(\bar{f}\) 是同构.
(v) (Second Isomorphism Theorem) 设 \(R\) 是环，\(I, J\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I/(I \cap J) \cong (I + J)/J\).
(vi) (Third Isomorphism Theorem) 设 \(R\) 是环，\(I, J\) 是 \(R\) 的理想，且 \(I \subset J\)，则 \((R/I)/(J/I) \cong R/J\).
(vii) 若 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(R\) 中包含 \(I\) 的全部理想构成的集合与 \(R/I\) 的全部理想所构成的集合之间存在由 \(J \mapsto J/I\) 给出的一一对应. 从而，\(R/I\) 的理想都具有形式 \(J/I\)，其中 \(J\) 是 \(R\) 的包含 \(I\) 的理想.
接下来是两种特殊理想的刻画。
定义
环 \(R\) 的一个理想 \(P\) 被称为素理想(prime ideal)，若 \(P \neq R\)，且 任意理想 \(A, B \in R\)，有
定理
若环 \(R\) 的一个理想 \(P\)，\(P \neq R\)，满足 \(\forall a, b \in R\) 有
则 \(P\) 是素理想 . 而若 \(P\) 是素理想，\(R\) 是交换环，则 \(P\) 满足以上性质 .
示例
任意整环的零理想都是素理想 . 事实上，若 \(ab = 0\)，则 \(a = 0\) 或 \(b = 0\). 若 \(p\) 是素数，则 \(\mathbb{Z}\) 中的主理想 \((p)\) 是素理想 . 事实上，若 \(ab \in (p)\)，则 \(p \mid ab\)，而 \(p\) 是素数，故 \(p \mid a\) 或 \(p \mid b\)，即 \(a \in (p)\) 或 \(b \in (p)\).
定理
对于含幺交换环 \(R\)，\(1_R \neq 0\)，其理想 \(P\) 是素理想等价于商环 \(R/P\) 是一个整环 .
证明
易知 \(R/P\) 是一交换环，且幺元为 \(1_R + P\)，零元为 \(0 + P = P\). 若 \(P\) 是素理想，则 \(1_R + P \neq P(P \neq R)\). 此外，\(R/P\) 没有零因子，因为若 \(a + P, b + P \in R/P\)，且 \((a + P)(b + P) = P\)，则 \(ab \in P\)，而 \(P\) 是素理想，故 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)，即 \(a + P = P\) 或 \(b + P = P\). 因此，\(R/P\) 是一个整环 . 反之，若 \(R/P\) 是一个整环，则 \(1_R + P \neq 0 + P\)，从而 \(1_R \not \in P\)，即 \(P \neq R\). 因为 \(R/P\) 没有零因子，所以若 \(ab \in P\)，则 \((a + P)(b + P) = ab + P = P\)，从而 \(a + P = P\) 或 \(b + P = P\)，即 \(a \in P\) 或 \(b \in P\). 证毕 .
定理
环 \(R\) 上的理想 \(M\) 被称为极大理想(maximal ideal) 若 \(M \neq R\)，且任意理想 \(N\) 满足 \(M \subset N \subset R\)，要么有 \(N = M\)，要么有 \(N = R\).
定理
含幺非零环 \(R\) 总有极大理想 . 事实上，\(R\) 的所有理想（除去 \(R\) 本身）都被包含在一个极大理想中 .
下面将两种特殊的理想进行联系。
定理
若 \(R\) 是一个交换环且 \(R^2 = R\)( 特别地，当 \(R\) 含有幺元时满足此条件 )，则 \(R\) 的每个极大理想 \(M\) 都是素理想 .
证明
设 \(M\) 是 \(R\) 的一个极大理想，\(ab \in M\)，但 \(a \not \in M, b \not \in M\)，则 \(M + (a) \supsetneq M\)，\(M + (b) \supsetneq M\)，从而由极大性有 \(M + (a) = R\)，\(M + (b) = R\). 因为 \(R\) 是交换环且 \(ab \in M\)，所以有 \((a)(b) \subset (ab) \subset M\). 从而 \(R = R^2 = (M + (a))(M + (b)) \subset M + (ab) \subset M\)，与 \(M \neq R\) 矛盾，所以 \(a \in M\) 或 \(b \in M\)，即 \(M\) 是素理想 . 证毕 .
我们也利用商环对极大理想进行刻画。
定理
设 \(M\) 是含幺环 \(R(1_R \neq 0)\) 的一个理想，则
(i) 若 \(M\) 是一个极大理想且 \(R\) 交换，则商环 \(R/M\) 是一个域.
(ii) 若商环 \(R/M\) 是一个除环，则 \(M\) 是 \(R\) 的一个极大理想.
证明
(i) 由上可知 \(M\) 是一素理想，故 \(R/M\) 是一个整环 . 下面证明，若 \(a + M \neq M\)，则 \(a + M\) 在 \(R/M\) 中有逆元 . 事实上，若 \(a + M \neq M\)，则 \(a \not \in M\)，从而 \(M + (a) \supsetneq M\)，故 \(M + (a) = R\)，即存在 \(m \in M, r \in R\) 使得 \(m + ra = 1_R\)，从而 \(1_R - ra = m \in M\)，即 \(1_R + M = ra + M = (a + M)(r + M)\)，故 \(a + M\) 在 \(R/M\) 中有逆元 \(r + M\). 因此，\(R/M\) 是一个域 .
(ii) 若 \(R/M\) 是一个除环，则 \(1_R + M \neq 0 + M\)，从而 \(1_R \not \in M\)，即 \(M \neq R\). 若 \(N\) 是一理想，使得 \(M \subsetneq N\). 令 \(a \in N - M\)，则 \(a + M \neq M\)，从而 \(a + M\) 在 \(R/M\) 中有逆元 \(b + M\)，即存在 \(b \in R\) 使得 \(ab - 1_R \in M,\) 而 \(a \in N\)，\(M \subset N\)，故 \(ab \in N\)，从而 \(1_R \in N\)，即 \(N = R\). 因此，\(M\) 是 \(R\) 的一个极大理想. 证毕.
推论
以下条件在含幺交换环 \(R(1_R \neq 0)\) 上等价：
(i) \(R\) 构成域；
(ii) \(R\) 没有非平凡理想；
(iii) \(0\) 是 \(R\) 上的极大理想；
(iv) 任一非零环同态 \(\varphi: R \rightarrow S\) 都是满同态.
定理
设 \(\{R_i \mid i \in I\}\) 是一族非空环，\(\prod_{i \in I} R_i\) 是加法阿贝尔群 \(R_i\) 的直积，则
(i) \(\prod_{i \in I} R_i\) 在如下定义的乘法下构成环：\(\{a_i\}_{i \in I}\{b_i\}_{i \in I} = \{a_ib_i\}_{i \in I}\);
(ii) 若 \(\forall i \in I, R_i\) 是含幺环/交换环，则 \(\prod_{i \in I} R_i\) 是含幺环/交换环；
(iii) \(\forall k \in I\)，典范限制 \(\pi_k: \prod_{i \in I} R_i \rightarrow R_k\)，定义为 \({a_i} \mapsto a_k\)，是一满同态；
(iv) \(\forall k \in I\)，典范单射 \(\iota_k: R_k \rightarrow \prod_{i \in I} R_i\)，定义为 \(a_k \mapsto \{a_i\}\)，\(a_i = 0, i \neq k\)，是一单同态.
\(\prod_{i \in I} R_i\) 也被称作 \(\{R_i \mid i \in I\}\) 的外直积。
定理
(i) (Chinese Remainder Theorem) 设 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) 是环 \(R\) 的一族理想，且 \(A_i + A_j = R, \forall i \neq j\)，\(R^2 + A_i = R, \forall i\)，如果 \(b_1, b_2 \ldots, b_n \in R\)，则存在 \(b \in R\) 使得 \(b \equiv b_i \pmod{A_i}, 1 \leqslant i \leqslant n\). 进而，\(c\) 也是上面同余方程组的解等价于 \(c \equiv b \pmod{\cap_{i = 1}^n A_i}\).
(ii) 设 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) 是环 \(R\) 的一族理想，则存在环的单同态
若 \(A_i + A_j = R, \forall i \neq j\)，\(R^2 + A_i = R, \forall i\)，则 \(\theta\) 是环同构 .