交换环上的因子分解 ¶
本节将从代数的角度去刻画数论当中的一些问题，并将其推广到其他的环上。
定义
交换环 \(R\) 中的非零元素 \(a\) 被称作整除(divide) \(b\)，如果存在 \(x \in R\) 使得 \(b = ax\). 记作 \(a \mid b\). 并且 \(a\) 和 \(b\) 被称作相伴(associate)，如果 \(a \mid b\) 且 \(b \mid a\).
定理
设 \(a, b, u\) 是含幺交换环 \(R\) 中的非零元素，那么以下结论成立：
(i) \(a \mid b\) 当且仅当 \((b) \subset (a)\);
(ii) \(a\) 和 \(b\) 相伴当且仅当 \((a) = (b)\);
(iii) \(u\) 是 \(R\) 的单位当且仅当 \(\forall r \in R, u \mid r\);
(iv) \(u\) 是 \(R\) 的单位当且仅当 \((u) = R\);
(v) 相伴关系是等价关系;
(vi) 若 \(a = br\), \(r\) 是 \(R\) 的单位，那么 \(a\) 和 \(b\) 相伴; 若 \(R\) 是整环，那么逆命题成立.
下面是对不可约元和素元的定义。
定义
设 \(R\) 是含幺交换环 . \(c \in R\) 被称作不可约元(irreducible element)，如果 \(c\) 不是非零元素，不是单位，且 \(c = ab\) 蕴含 \(a\) 或 \(b\) 是单位 . \(p \in R\) 被称作素元(prime element)，如果 \(p\) 不是非零元素，不是单位，且 \(p \mid ab\) 蕴含 \(p \mid a\) 或 \(p \mid b\).
环中素元和素理想有着密切的联系，不可约元和极大理想重要的关系。
定理
设 \(p\) 和 \(c\) 是整环 \(R\) 的非零元素，那么以下结论成立：
(i) \(p\) 是素元当且仅当 \((p)\) 是非零素理想;
(ii) \(c\) 是不可约元当且仅当 \((c)\) 在由 \(R\) 的所有真主理想构成的集合 \(S\) 中是极大的;
(iii) \(R\) 的素元都是不可约元;
(iv) 若 \(R\) 是主理想整环，那么 \(p\) 是素元当且仅当 \(p\) 是不可约元;
(v) \(R\) 中所有与不可约元(素元)相伴的元素都是不可约元(素元);
(vi) \(R\) 中所有不可约元的因子要么是单位，要么与自身相伴.
我们已经将许多 \(\mathrm{Z}\) 中的性质推广到了一般的环上，下面我们将进一步推广到交换环上的因子分解。
定义
环 \(R\) 被称作唯一分解整环(unique factorization domain, UFD)，如果 \(R\) 是整环，且满足以下条件：
(i) \(R\) 中的每个非零非单位元素 \(a\) 都可以写成有限个不可约元 \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) 的乘积，即 \(a = c_1c_2\cdots c_n\);
(ii) 若 \(a = c_1c_2\cdots c_n = d_1d_2\cdots d_m\)，其中 \(c_i, d_j\) 是不可约元，那么 \(m = n\) 且存在 \(\{1, 2, \ldots, n\}\) 的一个排列 \(\sigma\)，使得 \(c_i\) 和 \(d_{\sigma(i)}\) 相伴，\(\forall i = 1, 2, \ldots, n\).
接下来是主理想环的一些定理。
引理
设 \(R\) 是主理想环，且 \((a_1) \subset (a_2) \subset \cdots\) 是 \(R\) 的一串理想，那么存在 \(n \in \mathrm{N}^*\)，使得 \((a_n) = (a_{n+1 }) = \cdots\).
定理
所有主理想整环都是唯一分解整环 .
接下来是对另外一些有着特殊性质的环的定义。
定义
设 \(N\) 是所有非负整数的集合，\(R\) 是交换环 . 则 \(R\) 被称作欧几里得环(Euclidean ring)，若存在函数 \(\varphi: R - \{0\} \rightarrow N\)，满足以下条件：
(i) 若 \(a, b \in R\)，且 \(ab \neq 0\)，那么 \(\varphi(a) \leqslant \varphi(ab)\);
(ii) 若 \(a, b \in R\)，且 \(b \neq 0\)，那么存在 \(q, r \in R\)，使得 \(a = bq + r\)，其中 \(r = 0\) 或 \(r\neq 0, \varphi(r) < \varphi(b)\).
若 \(R\) 是欧几里得环也是唯一分解整环，那么 \(R\) 被称作欧几里得整环(Euclidean domain, ED).
定理
所有欧几里得环都是含幺主理想环，从而所有欧几里得整环都是唯一分解整环 .
接下来是最大公因子的推广。
定义
设 \(X\) 是交换环 \(R\) 的非空子集，\(d \in R\) 被称作 \(X\) 的最大公因子(greatest common divisor, GCD)，如果满足以下条件：
(i) \(d \mid x, \forall x \in X\);
(ii) 若 \(c \mid x, \forall x \in X\)，那么 \(c \mid d\).
所以 \(R\) 中的元素 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 被称作互素(relatively prime)，如果它们的最大公因子是单位 .
定理
设 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是含幺交换环 \(R\) 的元素，那么以下结论成立：
(i) \(d \in R\) 是 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 的最大公因子，则存在 \(r_1, r_2, \ldots, r_n \in R\)，使得 \(d = r_1a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n\) 当且仅当 \((d) = (a_1) + (a_2) + \cdots + (a_n)\);
(ii) 若 \(R\) 是主理想整环，则 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 的最大公因子存在且所有的最大公因子都有 \(r_1a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n\) 的形式，其中 \(r_1, r_2, \ldots, r_n \in R\);
(iii) 若 \(R\) 是唯一分解整环，则 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 的最大公因子存在.