模 模同态 正合列 ¶
环上的模实际上是阿贝尔群的推广，我们参照阿贝尔群给出如下定义。
定义
设 \(R\) 是环，一个 （左）\(R\)- 模(R-module) 是指一个加法阿贝尔群 \(A\) 和一个函数 \(R \times A \rightarrow A\)，\((r, a) \mapsto ra\)，使得对于任意的 \(r, s \in R, a, b \in A\)，有
(i) \(r(a+b) = ra + rb\);
(ii) \((r+s)a = ra + sa\);
(iii) \((rs)a = r(sa)\).
若 \(R\) 含幺，则
(iv) \(1_Ra = a, \forall a \in A\).
\(A\) 被称作幺作用 （左）\(R\)- 模(unitary R-module). 若 \(R\) 是一除环，则 \(A\) 被称作 （左）线性空间.
显然，交换环上的模既可被视作左模，也可被视作右模。
如果 \(R\)- 模 \(A\) 的零元为 \(0_A\)，\(R\) 的零元为 \(0_R\)，则 \(\forall r \in R, a \in A\)，有
今后我们将 \(0_A, 0_R, 0 \in \mathbf{Z}\) 以及平凡模 \(\{0\}\) 均表示成 \(0\)。
以下是一些模的例子。
示例
(i) 设 \(R\) 和 \(S\) 为环，\(\varphi: R \mapsto S\) 为环同态，则每个 \(S\)- 模 \(A\) 可以形成一个 \(R\)- 模，只要将 \(rx\) 定义为 \(\varphi(r)x\)，\(r \in R, x \in A\). 我们称这样的 \(R\)- 模结构是通过 \(\varphi\) 的拉回(pullback) 实现的 .
(ii) 设 \(A\) 是阿贝尔群，\(\mathrm{End} A\) 是 \(A\) 的自同态环，则 \(A\) 是幺作用 \(\mathrm{End} A\)-模，其中 \(fa := f(a), a \in A, f \in \mathrm{End} A.\)
接下去是模同态的定义。
定义
设 \(A\) 和 \(B\) 是环 \(R\) 上的模，映射 \(f: A \rightarrow B\) 被称作 \(R\)- 模同态，若对于 \(\forall a, c \in A, r \in R\)，有
若 \(R\) 是一除环，则 \(f\) 被称为线性变换(linear transformation)
注意到 \(R\)- 模同态 \(f: A \rightarrow B\) 一定是加法阿贝尔群的同态，所以有类似的描述：若 \(f\) 作为集合映射是单射、满射或双射，则分别称 \(f\) 为 \(R\)- 模单态，\(R\)- 模满态或 \(R\)- 模同构。\(f\) 的核是指作为阿贝尔群同态的核。所以我们可以推出：
(i) \(f\) 是 \(R\)-模单态 \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{\mathrm{Ker}} f = 0\).
(ii) \(f: A \rightarrow B\) 是 \(R\)-模同构 \(\Leftrightarrow\) 存在着 \(R\)-模同态 \(g: B \rightarrow A\)，使得 \(gf = 1_A, fg = 1_B\).
然后是子结构。
定义
设 \(R\) 是环，\(A\) 是 \(R\)- 模，而 \(B\) 是 \(A\) 的非空子集合。若 \(B\) 满足是 \(A\) 的加法子群，且 \(\forall r \in R, b \in B\)，有 \(rb \in B\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的子模(submodule). 除环上的线性空间上的子模称作子空间(subspace).
定理
若 \(X\) 是环 \(R\) 上的模 \(A\) 的子集，则 \(A\) 的所有包含 \(X\) 的子模的交被称为 \(X\) 生成(generated)（或张成(spanned)）的子模 .
如果 \(X\) 是有限的，且生成了模 \(B\)，则称 \(B\) 是有限生成的(finitely generated)。若 \(X = \varnothing\), 则 \(X\) 生成了零模。若 \(X = \{a\}\)，即 \(X\) 只包含一个元素，那么由 \(X\) 生成的 ( 子 ) 模称为由 \(a\) 生成的循环 ( 子 ) 模(cyclic (sub)module)。设 \(\{B_i \mid i \in I\}\) 是一族 \(A\) 的子模，则由 \(X = \cup_{i \in I} B_i\) 生成的子模称为子模 \(B_i\) 的和(sum)。
让我们进一步了解生成子模的结构。
定理
设 \(R\) 是环，\(A\) 是一 \(R\)- 模，\(X\) 是 \(A\) 的一个子集，\(\{B_i \mid i \in I\}\) 是 \(A\) 的一族子模，\(a \in A\). 定义 \(Ra = \{ra \mid r \in R\}\)，则
(i) \(Ra\) 是 \(A\) 的一个子模，映射 \(R \rightarrow Ra\)，\(r \mapsto ra\) 是一\(R\)-模满态.
(ii) 由 \(a\) 生成的循环子模 \(C\) 是 \(\{ra+na \mid r \in R, n \in \mathrm{Z}\}\). 若 \(R\) 是含幺环，\(A\) 是幺作用模，则 \(C = Ra\).
(iii) 由 \(X\) 生成的子模 \(D\) 是
若 \(R\) 是含幺环，\(A\) 是幺作用模，则
(v) 子模族 \(\{B_i \mid i \in I\}\) 的和是 \(\{b_{i_1}+ \cdots + b_{i_n} \mid b_{i_k} \in B_{i_k}\}\).
然后是商结构的一些性质。
定理
设 \(B\) 是环 \(R\) 上模 \(A\) 的子模，则商群 \(A/B\) 是 \(R\)- 模，其中 \(R\) 在 \(A/B\) 上的作用定义为 \(r(a+B) = ra + B, \forall r \in R, a \in A\). 进而映射 \(\pi: A \rightarrow A/B\), \(a \mapsto a + B\) 是一 \(R\)- 模满态，核为 \(B\). 这是模结构中的典范满射 .
由此，我们可以从群的同构定理推理到模的同构定理 .
\(\star\) 定理
(i) \(R\) 是一环，\(f: A \rightarrow B\) 是 \(R\)- 模同态，\(C\) 是 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} f\) 的子模，则存在唯一的 \(R\)- 模同态 \(\bar{f}: A/C \rightarrow B\)，使得对于每个 \(a \in A\)，\(\bar{f}(a+C) = f(a)\). 其次，\(\operatorname{Im} \bar{f} = \operatorname{Im} f\), \(\operatorname{\mathrm{Ker}} \bar{f} = \operatorname{\mathrm{Ker}} f/C\). 最后，\(\bar{f}\) 是 \(R\)- 模同构 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 是 \(R\)- 模满同态且 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} f = C\). 特别地，\(A/\operatorname{\mathrm{Ker}} f \cong \operatorname{Im} f\).
(ii) 如果 \(R\) 是环，\(A'\) 和 \(B'\) 分别是 \(R\)-模 \(A\) 和 \(B\) 的子模，\(f: A \rightarrow B\) 是 \(R\)-模同态，且 \(f(A') \subset B'\)，则存在唯一的 \(R\)-模同态 \(\bar{f}: A/A' \rightarrow B/B'\)，使得对于每个 \(a \in A\)，\(\bar{f}(a+A') = f(a) + B'\). 进而，\(\bar{f}\) 是 \(R\)-模同构 \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{\mathrm{Im}} f + B' = B\) 且 \(f^{-1}(B') \subset A'\). 特别地，如果 \(f\) 是 \(R\)-模满同态，且 \(f(A') = B'\)，\(\operatorname{\mathrm{Ker}} f \subset A'\)，则 \(\bar{f}\) 是 \(R\)-模同构.
(iii) 设 \(B\) 和 \(C\) 是环 \(R\) 上模 \(A\) 的子模，则
(a) 存在 \(R\)-模同构 \(B/(B \cap C) \cong (B+C)/C\).
(b) 如果 \(C \subset B\)，则 \(B/C\) 是 \(A/C\) 的子模，且存在 \(R\)-模同构 \((A/C)/(B/C) \cong A/B\).
(iv) 如果 \(R\) 是环，\(B\) 是 \(R\)-模 \(A\) 的子模，则在集合 \(\{C \mid C \subset A, C \supset B\}\) 和集合 \(\{D \mid D \subset A/B\}\) 之间存在一一对应，\(C \mapsto C/B\). 也就是说 \(A/B\) 的子模都有形式 \(C/B\)，其中 \(C\) 是 \(A\) 包含 \(B\) 的子模.
定理
设 \(R\) 是环，\(\{A_i \mid i \in I\}\) 是一族非空 \(R\)- 模，\(\prod_{i \in I} A_i\) 是阿贝尔群 \(A_i\) 的直积，\(\sum_{i \in I} A_i\) 是 \(A_i\) 的直和。则
(i) \(\prod_{i \in I} A_i\) 是 \(R\)-模，其中 \(R\) 在 \(\prod_{i \in I} A_i\) 上的作用定义为 \(r\{a_i\}_{i \in I} = \{ra_i\}_{i \in I}, \forall r \in R, \{a_i\}_{i \in I} \in \prod_{i \in I} A_i\).
(ii) \(\sum_{i \in I} A_i\) 是 \(\prod_{i \in I} A_i\) 的子模.
(iii) 对于每个 \(k \in I\)，典范投影 \(\pi_k: \prod_{i \in I} A_i \rightarrow A_k\)，\(\{a_i\}_{i \in I} \mapsto a_k\) 是 \(R\)-模满同态.
(iv) 对于每个 \(k \in I\)，典范嵌入 \(\iota_k: A_k \rightarrow \sum_{i \in I} A_i\)，\(a_k \mapsto \{a_i\}_{i \in I}\) 是 \(R\)-模单同态.
\(\prod_{i \in I} A_i\) 被称为 \(A_i\) 的 ( 外 )直积(direct product)，\(\sum_{i \in I} A_i\) 被称为 \(A_i\) 的 ( 外 )直和(direct sum). 如果下标集合是有限的，则直积和直和是相同的，并且记作 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n\).
下面讨论正合列(exact sequence) 的概念。
定义
一对模同态 \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\) 被称为在 \(B\) 处 正合(exact)，是指 \(\operatorname{\mathrm{Ker}} g = \operatorname{\mathrm{Im}} f\). 模同态有限序列 \(A_0 \xrightarrow{f_1} A_1 \xrightarrow{f_2} \cdots \xrightarrow{f_n} A_n\) 被称为 正合的，是指 \(\forall i \in \{1, 2, \cdots, n-1\}\)，\(\operatorname{\mathrm{Ker}} f_{i+1} = \operatorname{\mathrm{Im}} f_i\). 模同态无限序列 \(\cdots \xrightarrow{f_{i-1}} A_{i-1} \xrightarrow{f_i} A_i \xrightarrow{f_{i+1}} A_{i+1} \xrightarrow{f_{i+2}}\cdots\) 被称为 正合的，是指 \(\forall i \in \mathrm{N}^*\)，\(\operatorname{\mathrm{Ker}} f_{i+1} = \operatorname{\mathrm{Im}} f_i\).
提示
\(0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B\) 是正合的 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 是模的单同态 . \(B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0\) 是正合的 \(\Leftrightarrow\) \(g\) 是模的满同态 . 如果 \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\) 是正合的，则 \(g \circ f = 0\). 形如 \(0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0\) 的正合列被称为 短正合列(short exact sequence).
引理
设 \(R\) 是环，且
(i) \(\alpha\) 和 \(\gamma\) 是单同态 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\) 是单同态.
(ii) \(\alpha\) 和 \(\gamma\) 是满同态 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\) 是满同态.
(iii) \(\alpha\) 和 \(\gamma\) 是同构 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\) 是同构.
两个短正合序列被称作同构的，是指存在下面形式的模交换图表
定理
设 \(R\) 是环，\(0 \rightarrow A_1 \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} A_2 \rightarrow 0\) 是 \(R\)- 模同态组成的短正合列，则下列三个条件彼此等价：
(i) 存在 \(R\)-模同态 \(h: A_2 \rightarrow B\)，使得 \(g \circ h = 1_{A_2}\).
(ii) 存在 \(R\)-模同态 \(k: B \rightarrow A_1\)，使得 \(k \circ f = 1_{A_1}\).
(iii) 所给的序列同构于短正合序列 \(0 \rightarrow A_1 \xrightarrow{\iota_1} A_1 \oplus A_2 \xrightarrow{\pi_2} A_2 \rightarrow 0\)，并且从 \(A_1\) 到 \(A_1\) 和从 \(A_2\) 到 \(A_2\) 的垂直同构均是恒等映射. 特别地，\(A_1 \oplus A_2 \cong B\).
满足上述条件的短正合序列被称为分裂的(split)。