自由模和向量空间 ¶
本节研究自由模，其在数学领域中有着广泛的应用，而除环上的自由模就是向量空间。自由阿贝尔群也是自由模的一个特例。我们通过其作为一开始的参照。
仿照自由阿贝尔群的定义和性质，我们有如下定义：
定义
\(R\)- 模 \(A\) 的子集合 \(X\) 被称作线性无关(linearly independent)，如果对于任意两两不同的元素 \(x_1, \dots, x_n \in X\) 和 \(r_1, \dots, r_n \in R\)，如果 \(r_1 x_1 + \dots + r_n x_n = 0\)，则 \(r_1 = \dots = r_n = 0\). 不是线性无关的子集合被称作线性相关(linearly dependent)。如果 \(A\) 作为 \(R\)- 模由集合 \(Y\) 生成，我们就称 \(Y\) 张成(span) \(A\). 如果 \(R\) 是含幺环，\(A\) 是幺作用模，则 \(Y\) 张成 \(A\) 当且仅当 \(A\) 中的每一个元素都可以写成 \(Y\) 中元素的线性组合：\(a = r_1 y_1 + \dots + r_n y_n\)，其中 \(r_1, \dots, r_n \in R\)，\(y_1, \dots, y_n \in Y\). \(A\) 的一个线性无关子集合如果张成 \(A\)，则称其为 \(A\) 的一个基(basis)。
定理
设 \(R\) 是含幺环，则关于幺作用 \(R\)- 模 \(F\) 的下列条件等价：
(i) \(F\) 有一组非空的基；
(ii) \(F\) 是一族循环 \(R\)-模的内直和，其中每个循环 \(R\)-模都同构于左 \(R\)-模 \(R\)；
(iii) 作为 \(R\)-模，\(F\) 同构于若干左 \(R\)-模 \(R\) 的直和；
(iv) 存在非空集合 \(X\) 和函数 \(\iota: X \rightarrow F\) 具有以下的性质：对于任意幺作用 \(R\)-模 \(A\) 和函数 \(f: X \rightarrow A\)，存在唯一的 \(R\)-模同态 \(\bar{f}: F \rightarrow A\) 使得 \(\bar{f} \circ \iota = f\).
含幺环 \(R\) 上的幺作用模 \(F\) 如果满足如上的等价条件，就被称作集合 \(X\) 上的自由 \(R\)- 模(free \(R\)-module)。
推论
（含幺）环 \(R\) 上的每个（幺作用）\(R\)- 模都是一个自由 \(R\)- 模的同态像 . 如果 \(A\) 是有限生成的，则 \(F\) 也可被选取为有限生成的 .
引理
除环 \(D\) 上向量空间 \(V\) 的极大线性无关子集合是 \(V\) 的一组基 .
证明
设 \(W\) 是由集合 \(X\) 张成的 \(V\) 的子空间 . 因为 \(X\) 是线性无关的并且张成 \(W\)，从而 \(X\) 是 \(W\) 的一组基 . 如果 \(W = V\)，则证毕 . 若不然，则存在非零元素 \(a \in V, a \not \in W\). 考虑集合 \(X \cup \{a\}\). 如果 \(ra + r_1x_1 + \dots + r_nx_n = 0\)，其中 \(r, r_1, \dots, r_n \in D\)，\(x_1, \dots, x_n \in X\). 若 \(r \neq 0\), 则 \(a = r^{-1}(ra) = -r^{-1}(r_1x_1 + \dots + r_nx_n) \in W\)，矛盾 . 所以 \(r = 0\)，从而 \(r_1x_1 + \dots + r_nx_n = 0\). 因为 \(X\) 是线性无关的，从而 \(r_1 = \dots = r_n = 0\). 从而 \(X \cup \{a\}\) 也是线性无关的 . 与 \(X\) 是极大线性无关子集合矛盾 . 所以 \(V = W\).
定理
(i) 除环 \(D\) 上的每个向量空间 \(V\) 都有基，即都是自由 \(R\)- 模 . 更一般的，\(V\) 的每个线性无关子集合都包含在 \(V\) 的一组基中 .
(ii) 如果 \(V\) 是除环 \(D\) 上的向量空间，\(X\) 是 \(V\) 的子集合并且张成 \(V\)，则 \(X\) 包含 \(V\) 的一组基.
定理
(i) 设 \(R\) 为含幺环 . \(F\) 是自由 \(R\)- 模并且具有一组无限的基 \(X\)，则 \(F\) 的每一组基都与 \(X\) 等势 .
(ii) 如果 \(V\) 是除环 \(D\) 上的向量空间，则 \(V\) 的任意两组基有相同的势.
定义
设 \(R\) 是含幺环，如果对于每个自由 \(R\)- 模 \(F\)，\(F\) 的任意两组基均具有同样的势，我们便称 \(R\) 具有不变维数性质(invariant dimension property). \(F\) 的任意一组基的势被称作 \(F\) 在 \(R\) 上的维数(dimension) 或者 \(F\) 的秩(rank).
除环 \(D\) 上的向量空间 \(V\) 的维数表示为 \(\operatorname{dim}_D V\)。
命题
设 \(E\) 和 \(F\) 均是环 \(R\) 上的自由模，而且 \(R\) 具有不变维数性质 . 则 \(E \cong F\) 等价于 \(E\) 和 \(F\) 有相同的秩 .
引理
设 \(R\) 是含幺环，\(I(\neq R)\) 是 \(R\) 的理想，\(F\) 是自由 \(R\)- 模，\(X\) 是 \(F\) 的一组基 . \(\pi: F \rightarrow F/IF\) 是典范满射 . 则 \(F/IF\) 是自由 \(R/I\)- 模，\(\pi(x)\) 是 \(F/IF\) 的一组基 . 并且 \(\lvert X \rvert = \lvert \pi(X) \rvert\). ( 回忆：\(IF = \{\sum_{i = 1}^n r_ia_i \mid r_i \in I, a_i \in F, n \in N^*\}\), \(R/I\) 在 \(F/IF\) 上的作用为 \((r + I)(a + IF) = ra + IF\))
命题
如果 \(f: R \rightarrow S\) 是含幺环的非零满同态，并且 \(S\) 具有不变维数性质，则 \(R\) 也具有不变维数性质 .
推论
如果 \(R\) 是一个以除环作为同态像的含幺环，则 \(R\) 具有不变维数性质 . 特别地，每一个含幺交换环具有不变维数性质 .
现在视角转回除环 \(D\) 上的向量空间，研究其维数性质。除环上的向量空间 \(V\) 被称作有限维(finite-dimensional)，如果 \(\operatorname{dim}_D V\) 是有限的。
定理
设 \(W\) 是除环 \(D\) 上的向量空间 \(V\) 的子空间 . 则
(i) \(\operatorname{dim}_D W \leqslant \operatorname{dim}_D V\);
(ii) 如果 \(\operatorname{dim}_D W = \operatorname{dim}_D V\)，且 \(\operatorname{dim}_D V\) 是有限的，则 \(W = V\);
(iii) \(\operatorname{dim}_D V = \operatorname{dim}_D W + \operatorname{dim}_D V/W\).
定理
如果 \(f: V \rightarrow V'\) 是除环 \(D\) 上向量空间之间的线性变换，则存在 \(V\) 的一组基 \(X\)，使得 \(X \cap \operatorname{Ker} f\) 是 \(\operatorname{Ker} f\) 的一组基，并且 \(\{f(x) \mid f(x) \neq 0, x \in X\}\) 是 \(\operatorname{Im} f\) 的一组基 . 特别地，
推论
设 \(V\) 和 \(W\) 均是除环 \(D\) 上某个向量空间的有限维子空间，则
定理
设 \(R, S, T\) 均是除环，并且 \(R \subset S \subset T\). 则有 \(\operatorname{dim}_R T = \operatorname{dim}_R S + \operatorname{dim}_S T\). 此外，\(\operatorname{dim}_R T\) 是有限的当且仅当 \(\operatorname{dim}_R S\) 和 \(\operatorname{dim}_S T\) 均是有限的 .