域扩张 ¶
定义
如果域 \(K\) 是域 \(F\) 的子域，则称 \(F\) 是 \(K\) 的扩域(extension field)，或者叫做 \(K\) 的域扩张(field extension).
如果 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，不难看出 \(1_K = 1_F\)。此外 \(F\) 是 \(K\) 的向量空间，本章我们将 \(K\)- 向量空间 \(F\) 的维数表示为 \([F:K]\)。按照 \([F:K]\) 是否有限，我们称 \(F\) 是 \(K\) 的有限维扩张(finite extension) 或者无限维扩张(infinite extension)。
定理
设 \(F\) 是 \(E\) 的扩域，\(E\) 是 \(K\) 的扩域，则 \([F:K] = [F:E][E:K]\). 此外，如果 \([F:E]\) 和 \([E:K]\) 都是有限的等价于 \([F:K]\) 也是有限的 .
定理
设 \(F\) 是域 \(K\) 的扩域，\(u, u_i \in F\)，而 \(X \subset F\), 则
(i) 子环 \(K[u]\) 是 \(\{f(u) \mid f \in K[x]\}\).
(ii) 子环 \(K[u_1, \cdots, u_m]\) 是 \(\{g(u_1, \cdots, u_m) \mid g \in K[x_1, \cdots, x_m]\}\).
(iii) 子环 \(K[X]\) 是 \(\{h(u_1, \cdots, u_n) \mid u_i \in X, n \in N^*, h \in K[x_1, \cdots, x_n]\}\).
(iv) 子域 \(K(u)\) 是 \(\left\{\frac{f(u)}{g(u)} = f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in K[x], g(u) \neq 0 \right\}\).
(v) 子域 \(K(u_1, \cdots, u_m)\) 是 \(\left\{\frac{h(u_1, \cdots, u_m)}{k(u_1, \cdots, u_m)} = h(u_1, \cdots, u_m)k(u_1, \cdots, u_m)^{-1} \mid h, k \in K[x_1, \cdots, x_m], h(u_1, \cdots, u_m) \neq 0 \right\}\).
(vi) 子域 \(K(X)\) 是 \(\left\{\frac{p(u_1, \cdots, u_n)}{q(u_1, \cdots, u_n)} = p(u_1, \cdots, u_n)q(u_1, \cdots, u_n)^{-1} \mid u_i \in X, n \in N^*, p, q \in K[x_1, \cdots, x_n], q(u_1, \cdots, u_n) \neq 0 \right\}\).
(vii) 对于每个 \(v \in K(X)\)(或 \(v \in K[x]\))，均存在 \(X\) 的有限子集 \(X'\)，使得 \(v \in K(X')\)(或 \(v \in K[X']\)).
定义
设 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(F\) 中的元素 \(u\) 叫做在 \(K\) 上是代数的(algebraic over \(K\))，如果存在 \(K[x]\) 的非零多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(u) = 0\). 否则，\(u\) 叫做在 \(K\) 上是超越的(transcendental over \(K\)). 如果 \(F\) 中的每个元素都是在 \(K\) 上是代数的，则称 \(F\) 是 \(K\) 的代数扩张(algebraic extension)，否则称 \(F\) 是 \(K\) 的超越扩张(transcendental extension).
下面的两个定理不计同构的刻画了所有单扩张。
定理
(i) 设 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(u \in F\) 在 \(K\) 上超越，则 \(K(u) \cong K(x)\)，且此同构在 \(K\) 上的限制是恒等自同构 .
(ii) 设 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(u \in F\) 在 \(K\) 上代数，则
(a) \(K(u) = K[u]\).
(b) \(K(u) \cong K[x]/(f)\)，其中 \(f \in K[x]\) 是 \(n\) 次首一多项式，其由条件 \(f(u) = 0\) 和 \(g(u) = 0(g \in K[x]) \Leftrightarrow f \mid g\) 所唯一确定.
(c) \([K(u):K] = n\).
(d) \(\{1_K, u, u^2, \ldots, u^{n-1}\}\) 是 \(K\) 上的向量空间 \(K(u)\) 的一组基.
(e) \(K(u)\) 中的每个元素都可以唯一的写成 \(a_0 + a_1u + \cdots + a_{n-1}u^{n-1}(a_i \in K)\).
定理
设 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(u \in F\) 在 \(K\) 上代数，则上述定理中的首一多项式 \(f\) 称作 \(u\) 的不可约多项式(irreducible polynomial) 或者极小多项式(minimal polynomial). 而 \(\operatorname{deg} f = [K(u):K]\) 称作 \(u\) 在 \(K\) 上的次数(degree).
示例
多项式 \(x^3 - 3x - 1\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上是不可约的，且它有实数根 \(u\). 由上述定理，\(u\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上的次数是 \(3\)，且 \(\{1, u, u^2\}\) 是 \(\mathbf{Q}\) 上的向量空间 \(\mathbf{Q}(u)\) 的一组基 . 元素 \(u^4 + 2u^3 + 3 \in \mathbf{Q}(u) = \mathbf{Q}[u]\) 可以表示为基元素的线性组合，方法是利用带余除法 .
从而
\(3u^2 + 7u + 5\) 的乘法逆元可以按下面的方法计算：因为 \(x^3 - 3x - 1\) 在 \(\mathbf{Q}\) 上是不可约的，从而多项式 \(x^3 - 3x - 1\) 和 \(3x^2 + 7x + 5\) 互素，所以存在多项式 \(f(x), g(x) \in \mathbf{Q}[x]\)，使得 \(g(x)(x^3 - 3x - 1) + h(x)(3x^2 + 7x + 5) = 1\). 令 \(x = u\)，则 \(g(u)(u^3 - 3u - 1) + h(u)(3u^2 + 7u + 5) = g(u) \cdot 0 + h(u)(3u^2 + 7u + 5) = h(u)(3u^2 + 7u + 5) = 1\). 从而 \(3u^2 + 7u + 5\) 的乘法逆元是 \(h(u)\). 多项式 \(g(x)\) 和 \(h(x)\) 可以用扩展的欧几里得算法计算出来：\(g(x) = -\frac{7}{37}x + \frac{29}{111}, h(x) = \frac{7}{111}x^2 - \frac{26}{111}x + \frac{28}{111}\).
接下来就域同构的扩充进行一些讨论。考虑以下问题：
Question
设 \(E\) 是 \(K\) 的扩域，\(F\) 是 \(L\) 的扩域，且 \(\sigma: K \rightarrow L\) 是域同构，则在什么条件下可以将 \(\sigma\) 扩充为域同构 \(\tau: E \rightarrow F\)?
下面就单扩张给出解答。回忆有关环的知识，若 \(\sigma: R \rightarrow S\) 是一环同态，则映射 \(R[x] \rightarrow S[x]\)，\(\sum_i r_ix^i \mapsto \sum_i \sigma(r_i)x^i\) 也是环同态，其是 \(\sigma\) 的扩充。我们将此同态依然记作 \(\sigma\)，并且用 \(\sigma f\) 表示 \(f \in R[x]\) 的像元素。
定理
设 \(\sigma: K \rightarrow L\) 是域同构，\(u\) 是 \(K\) 的某扩域 \(E\) 中的元素，\(v\) 是 \(L\) 的某扩域 \(F\) 中的元素 . 设以下两个条件中有一个是成立的：
(i) \(u\) 在 \(K\) 上超越，且 \(v\) 在 \(L\) 上超越.
(ii) \(u\) 是不可约多项式 \(f \in K[x]\) 的根，\(v\) 是 \(\sigma f \in L[x]\) 的根.
则 \(\sigma\) 可以扩充为域同构 \(\tau: K(u) \rightarrow L(v)\)，且 \(\tau u = v\).
推论
设 \(E\) 和 \(F\) 都是 \(K\) 的扩域，\(u \in E\) 和 \(v \in F\) 都在 \(K\) 上代数 . 则 \(u\) 和 \(v\) 是同一个不可约多项式的根当且仅当存在域同构 \(\sigma: K(u) \rightarrow K(v)\)，使得 \(\sigma u = v\)，且在 \(K\) 上的限制是恒等自同构 .
目前为止，我们都是预先给出扩域，讨论多项式在扩域中的根。下面的定理表明我们其实不需要预先给出扩域。
定理
若 \(K\) 是域，\(f \in K[x]\) 是 \(n\) 次多项式，则存在 \(K\) 的单扩张 \(F = K(u)\)，使得：
(i) \(u \in F\) 是 \(f\) 的根.
(ii) \([F:K] \leqslant n\)，等号成立当且仅当 \(f\) 在 \(K[x]\) 中是不可约的.
(iii) 如果 \(f\) 在 \(K[x]\) 中是不可约的，则在不计 \(K\)-同构意义下，\(F\) 是唯一的.
根据 (iii)，我们也称 \(F\) 是将不可约多项式 \(f\) 的一个根添加(adjoin) 到 \(K\) 上得到的域。
定理
若 \(F\) 是 \(K\) 的有限维扩张，则 \(F\) 是 \(K\) 上有限生成的代数扩张 .
证明
设 \([F:K] = n\)，\(u \in F\)，则 \(n + 1\) 元集合 \(\{1_K, u, u^2, \ldots, u^n\}\) 在 \(K\) 上线性相关，从而存在 \(a_i \in K\)，使得 \(a_0 + a_1u + \cdots + a_nu^n = 0\)，且至少有一个 \(a_i \neq 0\). 从而 \(u\) 在 \(K\) 上代数 . 因为 \(u\) 是 \(F\) 中的任意一个元素，所以 \(F\) 是 \(K\) 上的代数扩张 . 如果 \(\{v_1, \ldots, v_m\}\) 是 \(F\) 的一组基，则易见 \(F = K(v_1, \ldots, v_m)\).
定理
若 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(X\) 是 \(F\) 的子集，使得 \(F = K(X)\)，且 \(X\) 中的每个元素都在 \(K\) 上代数，则 \(F\) 是 \(K\) 上的代数扩张 . 又若 \(X\) 是有限集合，则 \(F\) 是 \(K\) 上的有限维扩张 .
定理
若 \(F\) 是 \(E\) 的代数扩张，\(E\) 是 \(K\) 的代数扩张，则 \(F\) 是 \(K\) 的代数扩张 .
定理
设 \(F\) 是 \(K\) 的扩域，\(E\) 是 \(F\) 中所有在 \(K\) 上代数的元素构成的集合，则 \(E\) 是 \(F\) 的子域，且 \(E\) 是 \(K\) 在 \(F\) 中的唯一最大代数扩张 .