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域扩张

定义

如果域 \(K\) 是域 \(F\) 的子域,则称 \(F\)\(K\)扩域(extension field),或者叫做 \(K\)域扩张(field extension).

如果 \(F\)\(K\) 的扩域,不难看出 \(1_K = 1_F\)。此外 \(F\)\(K\) 的向量空间,本章我们将 \(K\)-向量空间 \(F\) 的维数表示为 \([F:K]\)。按照 \([F:K]\) 是否有限,我们称 \(F\)\(K\)有限维扩张(finite extension)或者无限维扩张(infinite extension)。

定理

\(F\)\(E\) 的扩域,\(E\)\(K\) 的扩域,则 \([F:K] = [F:E][E:K]\). 此外,如果 \([F:E]\)\([E:K]\) 都是有限的等价于 \([F:K]\) 也是有限的.

定理

\(F\) 是域 \(K\) 的扩域,\(u, u_i \in F\),而 \(X \subset F\), 则
(i) 子环 \(K[u]\)\(\{f(u) \mid f \in K[x]\}\).
(ii) 子环 \(K[u_1, \cdots, u_m]\)\(\{g(u_1, \cdots, u_m) \mid g \in K[x_1, \cdots, x_m]\}\).
(iii) 子环 \(K[X]\)\(\{h(u_1, \cdots, u_n) \mid u_i \in X, n \in N^*, h \in K[x_1, \cdots, x_n]\}\).
(iv) 子域 \(K(u)\)\(\left\{\frac{f(u)}{g(u)} = f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in K[x], g(u) \neq 0 \right\}\).
(v) 子域 \(K(u_1, \cdots, u_m)\)\(\left\{\frac{h(u_1, \cdots, u_m)}{k(u_1, \cdots, u_m)} = h(u_1, \cdots, u_m)k(u_1, \cdots, u_m)^{-1} \mid h, k \in K[x_1, \cdots, x_m], h(u_1, \cdots, u_m) \neq 0 \right\}\).
(vi) 子域 \(K(X)\)\(\left\{\frac{p(u_1, \cdots, u_n)}{q(u_1, \cdots, u_n)} = p(u_1, \cdots, u_n)q(u_1, \cdots, u_n)^{-1} \mid u_i \in X, n \in N^*, p, q \in K[x_1, \cdots, x_n], q(u_1, \cdots, u_n) \neq 0 \right\}\).
(vii) 对于每个 \(v \in K(X)\)(或 \(v \in K[x]\)),均存在 \(X\) 的有限子集 \(X'\),使得 \(v \in K(X')\)(或 \(v \in K[X']\)).

定义

\(F\)\(K\) 的扩域,\(F\) 中的元素 \(u\) 叫做在 \(K\) 上是代数的(algebraic over \(K\)),如果存在 \(K[x]\) 的非零多项式 \(f(x)\),使得 \(f(u) = 0\). 否则,\(u\) 叫做在 \(K\) 上是超越的(transcendental over \(K\)). 如果 \(F\) 中的每个元素都是在 \(K\) 上是代数的,则称 \(F\)\(K\)代数扩张(algebraic extension),否则称 \(F\)\(K\)超越扩张(transcendental extension).

下面的两个定理不计同构的刻画了所有单扩张。

定理

(i) 设 \(F\)\(K\) 的扩域,\(u \in F\)\(K\) 上超越,则 \(K(u) \cong K(x)\),且此同构在 \(K\) 上的限制是恒等自同构.
(ii) 设 \(F\)\(K\) 的扩域,\(u \in F\)\(K\) 上代数,则
(a) \(K(u) = K[u]\).
(b) \(K(u) \cong K[x]/(f)\),其中 \(f \in K[x]\)\(n\) 次首一多项式,其由条件 \(f(u) = 0\)\(g(u) = 0(g \in K[x]) \Leftrightarrow f \mid g\) 所唯一确定.
(c) \([K(u):K] = n\).
(d) \(\{1_K, u, u^2, \ldots, u^{n-1}\}\)\(K\) 上的向量空间 \(K(u)\) 的一组基.
(e) \(K(u)\) 中的每个元素都可以唯一的写成 \(a_0 + a_1u + \cdots + a_{n-1}u^{n-1}(a_i \in K)\).

定理

\(F\)\(K\) 的扩域,\(u \in F\)\(K\) 上代数,则上述定理中的首一多项式 \(f\) 称作 \(u\)不可约多项式(irreducible polynomial)或者极小多项式(minimal polynomial). 而 \(\operatorname{deg} f = [K(u):K]\) 称作 \(u\)\(K\) 上的次数(degree).

示例

多项式 \(x^3 - 3x - 1\)\(\mathbf{Q}\) 上是不可约的,且它有实数根 \(u\). 由上述定理,\(u\)\(\mathbf{Q}\) 上的次数是 \(3\),且 \(\{1, u, u^2\}\)\(\mathbf{Q}\) 上的向量空间 \(\mathbf{Q}(u)\) 的一组基. 元素 \(u^4 + 2u^3 + 3 \in \mathbf{Q}(u) = \mathbf{Q}[u]\) 可以表示为基元素的线性组合,方法是利用带余除法.

\[ x^4 + 2x^3 + 3 = (x + 2)(x^3 - 3x - 1) + (3x^2 + 7x + 5). \]

从而

\[\begin{align} u^4 + 2u^3 + 3 & = (u + 2)(u^3 - 3u - 1) + (3u^2 + 7u + 5). \\ & = (u + 2) \cdot 0 + (3u^2 + 7u + 5). \\ & = 3u^2 + 7u + 5. \end{align}\]

\(3u^2 + 7u + 5\) 的乘法逆元可以按下面的方法计算:因为 \(x^3 - 3x - 1\)\(\mathbf{Q}\) 上是不可约的,从而多项式 \(x^3 - 3x - 1\)\(3x^2 + 7x + 5\) 互素,所以存在多项式 \(f(x), g(x) \in \mathbf{Q}[x]\),使得 \(g(x)(x^3 - 3x - 1) + h(x)(3x^2 + 7x + 5) = 1\). 令 \(x = u\),则 \(g(u)(u^3 - 3u - 1) + h(u)(3u^2 + 7u + 5) = g(u) \cdot 0 + h(u)(3u^2 + 7u + 5) = h(u)(3u^2 + 7u + 5) = 1\). 从而 \(3u^2 + 7u + 5\) 的乘法逆元是 \(h(u)\). 多项式 \(g(x)\)\(h(x)\) 可以用扩展的欧几里得算法计算出来:\(g(x) = -\frac{7}{37}x + \frac{29}{111}, h(x) = \frac{7}{111}x^2 - \frac{26}{111}x + \frac{28}{111}\).

接下来就域同构的扩充进行一些讨论。考虑以下问题:

Question

\(E\)\(K\) 的扩域,\(F\)\(L\) 的扩域,且 \(\sigma: K \rightarrow L\) 是域同构,则在什么条件下可以将 \(\sigma\) 扩充为域同构 \(\tau: E \rightarrow F\)?

下面就单扩张给出解答。回忆有关环的知识,若 \(\sigma: R \rightarrow S\) 是一环同态,则映射 \(R[x] \rightarrow S[x]\)\(\sum_i r_ix^i \mapsto \sum_i \sigma(r_i)x^i\) 也是环同态,其是 \(\sigma\) 的扩充。我们将此同态依然记作 \(\sigma\),并且用 \(\sigma f\) 表示 \(f \in R[x]\) 的像元素。

定理

\(\sigma: K \rightarrow L\) 是域同构,\(u\)\(K\) 的某扩域 \(E\) 中的元素,\(v\)\(L\) 的某扩域 \(F\) 中的元素. 设以下两个条件中有一个是成立的:
(i) \(u\)\(K\) 上超越,且 \(v\)\(L\) 上超越.
(ii) \(u\) 是不可约多项式 \(f \in K[x]\) 的根,\(v\)\(\sigma f \in L[x]\) 的根.
\(\sigma\) 可以扩充为域同构 \(\tau: K(u) \rightarrow L(v)\),且 \(\tau u = v\).

推论

\(E\)\(F\) 都是 \(K\) 的扩域,\(u \in E\)\(v \in F\) 都在 \(K\) 上代数. 则 \(u\)\(v\) 是同一个不可约多项式的根当且仅当存在域同构 \(\sigma: K(u) \rightarrow K(v)\),使得 \(\sigma u = v\),且在 \(K\) 上的限制是恒等自同构.

目前为止,我们都是预先给出扩域,讨论多项式在扩域中的根。下面的定理表明我们其实不需要预先给出扩域。

定理

\(K\) 是域,\(f \in K[x]\)\(n\) 次多项式,则存在 \(K\) 的单扩张 \(F = K(u)\),使得:
(i) \(u \in F\)\(f\) 的根.
(ii) \([F:K] \leqslant n\),等号成立当且仅当 \(f\)\(K[x]\) 中是不可约的.
(iii) 如果 \(f\)\(K[x]\) 中是不可约的,则在不计 \(K\)-同构意义下,\(F\) 是唯一的.

根据 (iii),我们也称 \(F\) 是将不可约多项式 \(f\) 的一个根添加(adjoin) 到 \(K\) 上得到的域。

定理

\(F\)\(K\) 的有限维扩张,则 \(F\)\(K\) 上有限生成的代数扩张.

证明

\([F:K] = n\)\(u \in F\),则 \(n + 1\) 元集合 \(\{1_K, u, u^2, \ldots, u^n\}\)\(K\) 上线性相关,从而存在 \(a_i \in K\),使得 \(a_0 + a_1u + \cdots + a_nu^n = 0\),且至少有一个 \(a_i \neq 0\). 从而 \(u\)\(K\) 上代数. 因为 \(u\)\(F\) 中的任意一个元素,所以 \(F\)\(K\) 上的代数扩张. 如果 \(\{v_1, \ldots, v_m\}\)\(F\) 的一组基,则易见 \(F = K(v_1, \ldots, v_m)\).

定理

\(F\)\(K\) 的扩域,\(X\)\(F\) 的子集,使得 \(F = K(X)\),且 \(X\) 中的每个元素都在 \(K\) 上代数,则 \(F\)\(K\) 上的代数扩张. 又若 \(X\) 是有限集合,则 \(F\)\(K\) 上的有限维扩张.

定理

\(F\)\(E\) 的代数扩张,\(E\)\(K\) 的代数扩张,则 \(F\)\(K\) 的代数扩张.

定理

\(F\)\(K\) 的扩域,\(E\)\(F\) 中所有在 \(K\) 上代数的元素构成的集合,则 \(E\)\(F\) 的子域,且 \(E\)\(K\)\(F\) 中的唯一最大代数扩张.