Galois 理论基本定理 ¶

对 \([M:L] = n\) 进行归纳。\(n = 1\) 时结论显然成立。设 \(n > 1\) 并且当 \(i < n\) 时结论都成立，那么存在 \(u \in M - L\)，因为 \([M:L]\) 是有限的，所以 \(u\) 在 \(L\) 上是代数的，设 \(f \in L[x]\) 是 \(u\) 的极小多项式，\(\operatorname{deg} f = k > 1\)，那么有 \([L(u):L] = k, [M: L(u)] = n/k\).
(1) 若 \(k < n\)，则有 \(1 < n/k < n\)，由归纳假设，\([L':L(u)'] \leqslant k, [L(u)':M'] \leqslant n/k\)，所以 \([L':M'] = [L':L(u)'][L(u)':M'] \leqslant n\).
(2) 若 \(k = n\)，则 \([M: L(u)] = 1\)，即 \(M = L(u)\)。设 \(M'\) 关于 \(L'\) 的全体左陪集构成的集合为 \(S\)，\(f\) 在 \(F\) 中的所有的根构成的集合为 \(T\)，我们希望构建一个从 \(S\) 到 \(T\) 的单射，那么就会有 \(\lvert S \rvert \leqslant \lvert T \rvert\)。因为 \(\lvert S \rvert = [L':M']\)，并且 \(\lvert T \rvert < n\)，所以就能得到 \([L':M'] \leqslant [M:L]\).
设 \(\tau M'\) 是 \(M'\) 关于 \(L'\) 的一个左陪集，对于 \(\sigma \in M' = \operatorname{Aut}_M F\)，因为 \(u \in M\)，所以 \(\sigma(u) = u\)，也就有 \(\tau \sigma(u) = \tau(u)\)。这也就表明 \(\tau M'\) 中的所有元素对 \(u\) 的作用都是相同的，即 \(u \mapsto \tau(u)\). 而注意到 \(\tau \in L'\)，\(u\) 是 \(f \in L[x]\) 的根，所以 \(\tau(u)\) 也是 \(f\) 的根，这表明 \(\tau M' \mapsto \tau(u)\) 是良定义的。以下证明其是单射：设 \(\tau M' = \tau_0 M'(\tau, \tau_0 \in L')\)，所以 \(\tau_0^{-1}\tau(u) = u\)，即 \(\tau_0^{-1}\tau\) 固定 \(u\)，从而有 \(\tau_0^{-1}\tau\) 逐元素地固定 \(L(u) = M\)（代数扩张与基的关系），所以 \(\tau_0^{-1}\tau \in M'\)，即 \(\tau M' = \tau_0 M'\)，所以 \(\tau M' \mapsto \tau(u)\) 是单射。
特别地，\(\lvert \operatorname{Aut}_K F \rvert = [\operatorname{Aut}_K F : 1] = [K':F'] \leqslant [F:K]\).

反证法。设 \([J:H] = n\)，\([H':J'] = m > n\)，则存在 \(u_1, u_2, \ldots, u_{n + 1} \in H'\) 并且在 \(J'\) 上是线性无关的。设 \(J\) 关于 \(H\) 的轨道分解为 \(J = \bigsqcup_{i = 1}^n \tau_i H\)，并且考虑域 \(F\) 上如下的 \(n\) 个系数为 \(\tau_i (u_j)\) 的 \(n + 1\) 元齐次线性方程组

显然其一定有非平凡解，设为 \(x_1 = a_1, \ldots, x_r = a_r, x_{r + 1} = \cdots = x_{n + 1} = 0 (a_i \neq 0)\)，其使得不为零的 \(a_i\) 个数最少。而考虑到解的倍数同样也是解，不妨设 \(a_1 = 1_F\). 反证的出发点便是能够在此基础上构造出使得不为零的 \(a_i\) 个数更少的解。
下证存在 \(\sigma \in J\)，使得 \(x_1 = \sigma a_1, x_2 = \sigma a_2, \ldots, x_r = \sigma a_r, x_{r + 1} = \cdots = x_{n + 1} = 0\) 也是上述方程组的解，并且满足 \(\sigma a_2 \neq a_2\)。
根据轨道分解，诸 \(\tau_i\) 中恰好存在一个（设为 \(\tau_1\)）是 \(H\) 的代表元，即 \(\tau_1 \in H\). 而 \(u_1, u_2, \ldots, u_{n + 1} \in H'\)，所以 \(\tau_1(u_i) = u_i\)，所以方程组的第一个方程表明

但是 \(u_1, u_2, \ldots, u_{n + 1}\) 在 \(J'\) 上是线性无关的，并且 \(\{a_i\}\) 并不全为零，所以必然存在某个 \(a_i\)（设为 \(a_2\)）不属于 \(J'\)。于是存在 \(\sigma \in J\) 使得 \(\sigma a_2 \neq a_2\)。
而后考虑如下的方程组

因为 \(\sigma\) 是一个自同构，所以 \(x_1 = \sigma a_1, x_2 = \sigma a_2, \ldots, x_r = \sigma a_r, x_{r + 1} = \cdots = x_{n + 1} = 0\) 也是上述方程组的解。下面需要说明这两个方程组本质上是等价的，也就是要说明如下两点：
(1) \(J = \bigsqcup_{i = 1}^n \sigma \tau_i H\);
(2) 若 \(\xi\) 与 \(\theta\) 是 \(H\) 关于 \(J\) 的同一个左陪集的两个元素，那么 \(\xi(u_i) = \theta(u_i), i = 1, 2, \ldots, n + 1\)。
考虑 \(\varphi_\sigma: J \to J, \varphi_\sigma(\tau_i H) = \sigma \tau_i H\)，证明 (1) 只需说明 \(\varphi_\sigma\) 为双射即可。若 \(\sigma \tau_i H = \sigma \tau_j H\)，则 \((\sigma \tau_j)^{-1} \sigma \tau_i \in H\)，即 \(\tau_j^{-1} \tau_i \in H\)，而考虑到 \(J = \bigsqcup_{i = 1}^n \tau_i H\)，即 \(\tau_j^{-1} \tau_i \in H\) 等价于 \(i = j\)，所以 \(\varphi_\sigma\) 是单射。而两个集合的元素个数相等，所以 \(\varphi_\sigma\) 是满射。又 \(\xi, \theta \in \tau_i H\)，所以 \(\xi = \tau_i \xi_0, \theta = \tau_i \theta_0\)，其中 \(\xi_0, \theta_0 \in H\)，而 \(u_i \in H'\)，所以 \(\xi(u_i) = \tau_i \xi_0(u_i) = \tau_i u_i = \tau_i \theta_0(u_i) = \theta(u_i)\)。
所以 \(x_1 = \sigma a_1, x_2 = \sigma a_2, \ldots, x_r = \sigma a_r, x_{r + 1} = \cdots = x_{n + 1} = 0\) 也是第一个方程组的解。而解的差也是解，所以 \(x_1 = a_1 - \sigma a_1, x_2 = a_2 - \sigma a_2, \ldots, x_r = a_r - \sigma a_r, x_{r + 1} = \cdots = x_{n + 1} = 0\) 也是第一个方程组的解。而 \(a_1 = 1_F\)，所以 \(x_1 = 0\)，且 \(x_2 = a_2 - \sigma a_2 \neq 0\)，所以这与第一个解使得不为零的 \(a_i\) 个数最少相矛盾。所以 \([H':J'] \leqslant [J:H]\).

(i) 注意到 \(M \subset M'', L = L''\)，并且运用前两个引理，可以得到

也就是说 \(M = M''\) 并且 \([L': M'] = [M: L].\)
(ii) 同理，\(J \subset J'', H = H''\)，运用前两个引理，便有

即 \(J = J''\) 且 \([H': J'] = [J: H].\)
(iii) 设 \(E\) 是一个中间域，显然 \([E:K]\) 有限；因为 \(F\) 是 Galois 扩张，所以 \(K\) 是闭的，由 (i) 可知 \(E\) 是闭的，并且 \([K':E'] = [E:K]\). 考虑 \(E = F\)，则 \(\lvert \operatorname{Aut}_K F \rvert = [\operatorname{Aut}_K F : 1] = [K':F'] = [F:K]\) 是有限的。从而可知所有 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的子群\(J\) 都是有限的，所以 \(J\) 是闭的。

(i) 考虑 \(u \in E, \sigma \in \operatorname{Aut}_K F\)，根据稳定性有 \(\sigma (u) \in E\)。对于任意的 \(\tau \in E' = \operatorname{Aut}_E F\)，有 \(\tau \sigma (u) = \sigma (u)\)，所以 \(\sigma^{-1} \tau \sigma (u) = u\)，即 \(\sigma^{-1} \tau \sigma \in \operatorname{Aut}_E F\)，从而 \(E'\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的正规子群。
(ii) 考虑 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F, \tau \in H\)，根据正规性有 \(\sigma^{-1} \tau \sigma \in H\)，所以对于任意的 \(u \in H'\)，有 \(\sigma^{-1} \tau \sigma (u) = u\)，即 \(\tau \sigma (u) = \sigma (u)\)。所以 \(\sigma (u) \in H', \forall u \in H'\)，即 \(H'\) 是一个稳定中间域。

考虑 \(u \in E - K\)，因为 \(F\) 在 \(K\) 上是 Galois 的，所以存在 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F\) 使得 \(\sigma(u) \neq u\)，但是根据稳定性有 \(\sigma \mid_E \in \operatorname{Aut}_E F\)，从而 \(E\) 在 \(K\) 上是 Galois 的。

考虑 \(u \in E\)，因为 \(E\) 在 \(K\) 上是代数的，所以设 \(f \in K[x]\) 是 \(u\) 的极小多项式，并且令 \(u = u_1\). \(u_1, u_2, \ldots, u_r\) 是 \(f\) 在 \(E\) 中的所有互异的根，易知 \(r \leqslant n = \operatorname{deg} f\)。设 \(\tau \in \operatorname{Aut}_K E\)，则 \(\tau\) 对 \(\{u_i\}\) 的作用是一个置换，所以首一多项式 \(g = \prod_{i = 1}^r (x - u_i)\) 的系数都被 \(\tau\) 固定。又因为 \(E\) 在 \(K\) 上是 Galois 的，所以 \(g \in K[x]\)。而 \(u = u_1\) 是 \(g\) 的一个根，因此 \(f \mid g\)。又因为 \(g\) 是首一的并且 \(\operatorname{deg} g \leqslant \operatorname{deg} f\)，所以 \(f = g\)，从而 \(f\) 的所有根是互不相同并且全部落在 \(E\) 中的。现在考虑 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F\)，\(\sigma(u)\) 也是 \(f\) 的根，有 \(\sigma (u) \in E\) ，所以 \(E\) 是稳定的。

因为 \(E\) 是稳定的，所以 \(\sigma \mapsto \sigma \mid_E\) 是一个 \(\operatorname{Aut}_K F \to \operatorname{Aut}_K E\) 的群同态，并且像是所有 \(E\) 的可延拓到 \(F\) 上的 \(K\)- 自同态组成的群，核是 \(\operatorname{Aut}_E F\)，根据群的第一同构定理可以得到结论。