Norm, Trace, Discriminant¶

Norm, Trace¶

设 \(A\) 是含幺交换环，\(E\) 是一个自由 \(A\)- 模，秩为 \(n\)，有一组基 \(e = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}\). 考虑 \(E\) 的一个模同态 \(u: E \to E\)，则 \(u\) 在 \(e\) 下的矩阵表示记为 \(M_u = (a_{ij}) \in M_n(A)\). 考虑以下多项式展开：

\[ \operatorname{det}(XI - M_u) = X^n + \operatorname{Tr}(M_u)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n\operatorname{det}(M_u). \]

其定义了矩阵 \(M_u\) 的行列式和迹 .

而考虑环 \(A \subset B\)，二者均为含幺交换环，\(B\) 为秩为 \(n\) 的自由 \(A\)- 模 . 对于 \(x \in B\)，考虑 \(A\)- 模同态 \(u_x: y \mapsto xy\)，则 \(u_x\) 的迹被称为 \(x\) 的迹，记为 \(\operatorname{Tr}_{B/A}(x)\). 同理，\(u_x\) 的行列式被称为 \(x\) 的范数，记为 \(\operatorname{N}_{B/A}(x)\).

对于域扩张 \(E/F\)，\(E\) 中元素的迹和范数是“下降”到 \(F\) 的重要方法 . 以下给出域扩张下元素的迹和范数的等价定义：

Theorem

设 \(F\) 为有限域或特征为 0 的域，域扩张 \(E/F\) 满足 \([E:F] = n\)，取 \(\alpha \in E\)，其极小多项式为 \(f_{\alpha}(X)\)，度为 \(m\)，且其根为 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m \in F^{\text{alg}}\)，满足两两互异 . 则以下式子成立：

\[\begin{gather} \operatorname{det}_{E/F}(X\operatorname{Id}_E - \alpha) = f_{\alpha}(X)^{\frac{n}{m}} = \prod_{\sigma \in \operatorname{Hom}_F(E, F^{\text{alg}})} (X - \sigma(\alpha)), \\ \operatorname{Tr}_{E/F}(\alpha) = \frac{n}{m} \sum_{i=1}^m \alpha_i, \quad \operatorname{N}_{E/F}(\alpha) = (\prod_{i=1}^m \alpha_i)^{\frac{n}{m}}. \end{gather}\]

Proof

(i) 设 \(E = F[\alpha]\)，则 \(n = m\). 取 \(E\) 的一组基 \(B = \{1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\}\)，则 \(B\) 为 \(F\)- 线性无关的 . 将 \(f_\alpha(X)\) 展开，有

\[\begin{align} f_{\alpha}(X) &= X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 \\ &= \prod_{i=1}^n (X - \alpha_i). \\ \end{align}\]

同时考虑 \(u_{\alpha}\) 在 \(B\) 下的矩阵表示，如下所示：

\[ M_{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}. \]

计算后可以得到 \(\operatorname{det}_{E/F}(X\operatorname{Id}_E - \alpha) = f_{\alpha}(X)\). 迹与范数只需在此基础上进行计算即可 . 此处的 \(M_{\alpha}\) 也就是多项式 \(f_{\alpha}(X)\) 的友矩阵 .

(ii) 而对于一般的情况，