Generalities on linear representations

Definitions

设 \(V\) 是一复线性空间，\(\mathbf{GL}(V)\) 是 \(V\) 的自同构组成的群. 显然若 \(V\) 有一组有 \(n\) 个元素的基 \((e_i)\) 时，每个线性映射 \(a \in \mathbf{GL}(V)\) 都可以用一个 \(n\) 阶的可逆矩阵 \((a_{ij})\) 表示.

设 \(G\) 是有限乘法群，\(G\) 在 \(V\) 上的一个线性表示是指从群 \(G\) 到 \(\mathbf{GL}(V)\) 的一个群同态 \(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\)，满足

\[ \rho(st) = \rho(s)\rho(t), \ s, t \in G. \]

也经常简记 \(\rho(s)\) 为 \(\rho_s\).

当 \(\rho\) 给定后，称 \(V\) 为 \(G\) 的表示空间. 我们在这里只研究表示空间为有限维的情况.

设 \(R_s\) 为 \(\rho_s\) 在基 \((e_i)\) 下的矩阵表示，显然有

\[ \det(R_s) \neq 0, \quad R_{st} = R_s \cdot R_t, \ s, t \in G. \]

从矩阵元角度入手的话，第二条规则变为

\[ r_{ik}(st) = \sum_j r_{ij}(s) \cdot r_{jk} (t). \]

设 \(\rho\) 和 \(\rho'\) 是同一群 \(G\) 分别在空间 \(V\) 和 \(V'\) 上的表示，这两个表示被称为等价的，如果存在线性同构 \(\tau: V \to V'\) 满足

\[ \tau \circ \rho_s = \rho'_s \circ \tau, \quad \forall s \in G. \]

矩阵形式为

\[ T \cdot R_s = R_s' \cdot T, \quad \forall s \in G. \]

Example

• 群 \(G\) 的度为 \(1\) 的表示指同态 \(\rho: G \to \mathbb{C}^*\)，而因为 \(G\) 中的元素的阶都是有限的，所以 \(\rho(s)\) 都是单位根，即有 \(\abs{\rho(s)} = 1\). 而 \(\rho(s) = 1, \forall s \in G\) 的表示被称为 \(G\) 的单位/平凡表示.

• 设 \(g\) 为 \(G\) 的阶，\(V\) 为维数为 \(g\) 的线性空间，且有以 \(G\) 中元素 \(t \in G\) 索引的一组基 \(\{e_t\}_{t \in G}\). 对于任意 \(s \in G\)，设 \(\rho_s\) 为 \(V\) 的自同构，其将 \(e_t\) 映射到 \(e_{st}\). 这便定义了群 \(G\) 的一个线性表示，称为正则表示，其度等于 \(G\) 的阶. 因为 \(e_s = \rho_s(e_1)\)，所以 \(e_1\) 的所有像形成了 \(V\) 的一组基. 反之，如果 \(W\) 是 \(G\) 的一个表示，并且包含一个向量 \(w\)，使得 \(\rho_s(w), s \in G\) 形成了 \(W\) 的一组基，那么 \(W\) 同构于正则表示.

Subrepresentations

设 \(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\)，\(W\) 为 \(V\) 的子空间. 称 \(W\) 在 \(G\) 的作用下不变，若 \(x \in W\)，则有 \(\rho_s x \in W, \forall s \in G\). \(\rho_s\) 在 \(W\) 上的限制 \(\rho_s^W\) 实际上也是 \(W\) 的自同构，并且满足 \(\rho_{st}^W = \rho_s^W \cdot \rho_t^W\). 所以 \(\rho^W: G \to \mathbf{GL}(W)\) 是 \(G\) 在 \(W\) 上的表示，称为子表示.

Theorem

\(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\) 是 \(G\) 在 \(V\) 上的线性表示，\(W\) 为 \(V\) 在 \(G\) 下的不变子空间，那么存在 \(W\) 的一个补空间 \(W^0\) 也在 \(G\) 下不变.

Proof

设 \(W'\) 为 \(W\) 的任意补空间，\(p\) 为其对应的 \(V\) 到 \(W\) 的投影映射，通过将 \(p\) 与 \(G\) 的元素共轭后取平均来构造 \(p_0\)：

\[ p_0 = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} \rho_t \cdot p \cdot \rho_t^{-1} \]

容易验证 \(p_0\) 将 \(V\) 映射到 \(W\)，并且有

\[ \rho_t \cdot p \cdot \rho_t^{-1} x = \rho_t \cdot \rho_t^{-1} x = x, \forall x \in W. \]

所以有 \(p_0 x = x\)，\(p_0\) 也是 \(V\) 到 \(W\) 的投影映射，对应于某个补空间 \(W^0\). 并且还有

\[ \rho_s p_0 = p_0 \rho_s, \forall s \in G. \]

所以如果 \(x \in W^0\)，就有 \(p^0 x = 0\)，即对于任意的 \(p^0 \cdot p_s x = p_s \cdot p^0 x = 0\)，即 \(p_s x \in W^0\)，\(W^0\) 在 \(G\) 下不变.

通过构建 \(G\) 下不变的内积也可以证明

内积的不变性表明如果 \((e_i)\) 是一组单位正交基，那么 \(\rho_s\) 关于这组基的矩阵便是酉矩阵.

Irreducible representations

设 \(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\) 为 \(G\) 的线性表示，若 \(V\) 不为 \(0\) 且没有非平凡子空间在 \(G\) 下不变，那么 \(\rho\) 被称为不可约的，第二个条件也就等同于其不是两个表示的直和.

Theorem

每个表示都是不可约表示的直和.

Proof

数学归纳法.

Tensor product of two representations

\(\rho^1: G \to \mathbf{GL}(V_1)\)，\(\rho^2: G \to \mathbf{GL}(V_2)\) 为群 \(G\) 的两个线性表示，对于 \(s \in G\)，定义 \(\rho_s: G \to \mathbf{GL}(V_1 \otimes V_2)\) 为

\[ \rho_s(x_1 \cdot x_2) = \rho_s^1(x_1) \cdot \rho_s^2(x_2), \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2. \]

也就是

\[ \rho_s = \rho_s^1 \otimes \rho_s^2. \]

Symmetric square and alternating square

设 \((e_i)\) 为 \(V\) 的一组基，\(\theta\) 为 \(V \otimes V\) 的一个自同构，满足：

\[ \theta(e_i \cdot e_j) = e_j \cdot e_i, \ \forall (i, j). \]

而对于任意 \(x, y \in V\)，有

\[ \theta(x \cdot y) = y \cdot x, \]

说明 \(\theta\) 是不依赖于基的；此外有 \(\theta^2 = 1\). 所以 \(V \otimes V\) 可以分解为直和

\[ V \otimes V = \mathbf{Sym}^2(V) \oplus \mathbf{Alt}^2(V), \]

其中 \(\mathbf{Sym}^2(V)\) 是 \(z \in V \otimes V\) 使得 \(\theta(z) = z\) 的集合，而 \(\mathbf{Alt}^2(V)\) 是 \(z \in V \otimes V\) 使得 \(\theta(z) = -z\) 的集合. \((e_i \cdot e_j + e_j \cdot e_i)_{i \leq j}\) 形成了 \(\mathbf{Sym}^2(V)\) 的一组基，而 \((e_i \cdot e_j - e_j \cdot e_i)_{i < j}\) 形成了 \(\mathbf{Alt}^2(V)\) 的一组基. 如果 \(\op{dim} V = n\)，显然有

\[ \op{dim} \mathbf{Sym}^2(V) = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \op{dim} \mathbf{Alt}^2(V) = \frac{n(n-1)}{2}. \]

它们都在 \(G\) 的作用下不变，因此分别定义了对称平方表示和交替平方表示.