Character theory¶
The character of a representation¶
\(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\) 是有限群 \(G\) 在 \(V\) 上的线性表示. 对任一 \(s \in G\)，定义
这样定义得到的复值函数 \(\chi_\rho: G \to \mathbb{C}\) 被称为表示 \(\rho\) 的特征标.
Proposition
-
如果 \(\chi\) 是一个度为 \(n\) 的表示的特征标，便有：
-
\(\chi(1) = n\)
-
\(\chi(s^{-1}) = \overline{\chi(s)}, \forall s \in G\)
-
\(\chi(tst^{-1}) = \chi(s), \forall s, t \in G\)
Remark
满足第 3 点的函数被称为类函数，类函数实际上都是特征标的线性组合.
-
-
\(\rho^1: G \to \mathbf{GL}(V_1)\) 和 \(\rho^2: G \to \mathbf{GL}(V_2)\) 是 \(G\) 的两个线性表示，\(\chi_1\) 和 \(\chi_2\) 分别是这两个表示的特征标. 那么：
-
表示的直和 \(V_1 \oplus V_2\) 的特征标 \(\chi\) 为 \(\chi_1 + \chi_2\).
-
表示的张量积 \(V_1 \otimes V_2\) 的特征标 \(\chi\) 为 \(\chi_1 \cdot \chi_2\).
-
-
\(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\) 为 \(G\) 的一个线性表示，\(\chi\) 为其特征标. 设 \(\chi_\sigma^2\) 为 \(\mathbf{Sym}^2(V)\) 的特征标，\(\chi_\alpha^2\) 为 \(\mathbf{Alt}^2(V)\) 的特征标. 则对于任意 \(s \in G\)，有：
\[\begin{gather*} \chi_\sigma^2(s) = \frac{1}{2} \left( \chi(s)^2 + \chi(s^2) \right) \\ \chi_\alpha^2(s) = \frac{1}{2} \left( \chi(s)^2 - \chi(s^2) \right). \end{gather*}\]显然也有 \(\chi_\sigma^2 + \chi_\alpha^2 = \chi^2\).
Schur's lemma; basic applications¶
Schur's lemma
设 \(\rho^1: G \to \mathbf{GL}(V_1)\) 和 \(\rho^2: G \to \mathbf{GL}(V_2)\) 是 \(G\) 的两个不可约表示，\(f\) 为 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的线性映射，满足 \(\forall s \in G, \rho_s^2 \circ f = f \circ \rho_s^1\). 则：
-
如果 \(\rho^1\) 和 \(\rho^2\) 是不同构的，则 \(f = 0\);
-
如果 \(V_1 = V_2\) 并且 \(\rho_1 = \rho_2\)，则 \(f\) 是一个位似（恒等映射的标量倍）.
Proof
\(f = 0\) 的情况是平凡的.
考虑 \(f \neq 0\)，并且 \(W_1\) 是 \(f\) 的核空间. 对 \(x \in W_1\)，有 \(f(\rho_s^1(x)) = \rho_s^2(f(x)) = 0\)，也就是说 \(\rho_s^1(x) \in W_1\)，\(W_1\) 在 \(G\) 下不变. 因为 \(V_1\) 是不可约的，所以 \(W_1 = V_1\) 或 \(W_1 = 0\). 第一种情况代表 \(f = 0\)，排除；所以 \(W_1 = 0\). 类似的，设 \(W_2\) 是 \(f\) 的像空间，即 \(y \in W_2\)，总存在 \(z \in V_1\)，使得 \(f(z) = y\). 从而 \(\rho_s^2(f(z)) = \rho_s^2(y) = f(\rho_s^1(z)) \in W_2\)，\(W_2\) 在 \(G\) 下不变. 同理得到 \(W_2 = V_2\)，即 \(f\) 是 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的同构.
而 \(V_1 = V_2\) 且 \(\rho^1 = \rho^2\) 后，设 \(\lambda\) 为 \(f\) 的特征值. 令 \(f' = f - \lambda I\)，因为 \(\lambda\) 是 \(f\) 的特征值，所以 \(\ker{f'} \neq 0\)，并且同样有 \(\rho_s^2 \circ f' = f' \circ \rho_s^1\)，这表明 \(f' = 0\)，即 \(f = \lambda I\).
保持 \(V_1\) 和 \(V_2\) 不可约的前提，记 \(g\) 为群 \(G\) 的阶.
Corollary
-
设 \(h\) 为 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的线性映射，定义
\[ h^0 = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} (\rho_t^2)^{-1} g \rho_t^1. \]则：
-
若 \(\rho^1\) 和 \(\rho^2\) 不同构有 \(h^0 = 0\);
-
若 \(V_1 = V_2\) 且 \(\rho^1 = \rho^2\)，则 \(h^0\) 是一个比率为 \(\frac{1}{n} \op{Tr}(h)\) 的位似.
Proof
因为
\[\begin{align*} (\rho_s^2)^{-1} h^0 \rho_s^1 & = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} (\rho_s^2)^{-1} (\rho_t^2)^{-1} h \rho_t^1 \rho_s^1 \\ & = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} (\rho_{ts}^2)^{-1} h \rho_{ts}^1 = h^0. \end{align*}\]所以有 \(\rho_s^2 h^0 = h^0 \rho_s^1\). 令 \(f = h^0\) 便可以得到：
-
显然.
-
\(h^0 = \lambda I\). 此外，因为
\[ \op{Tr}(h^0) = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} \op{Tr}(\rho_t^{-1} h \rho_t) = \op{Tr}(h), \]所以 \(n \lambda = \op{Tr}(h)\)，\(\lambda = \frac{1}{n} \op{Tr}(h)\).
-
-
如果 \(\rho^1\) 和 \(\rho^2\) 是以矩阵形式给出的，即
\[ \rho_t^1 = (r_{i_1j_1}(t)), \rho_t^2 = (r_{i_2j_2}(t)). \]\(h\) 由矩阵 \((x_{i_2i_1})\) 定义，\(h^0\) 则类似由矩阵 \(x_{i_2i_1}^0\) 定义，其中
\[ x_{i_2i_1}^0 = \frac{1}{g} \sum_{t, j_1, j_2} r_{i_2j_2}(t^{-1}) x_{j_2j_1} r_{j_1i_1}(t). \]右侧为关于 \(x_{j_2j_1}\) 的线性形式.
-
这个形式对于所有的 \(x_{j_2j_1}\) 都是零，所以
\[ \frac{1}{g} \sum_{t \in G} r_{i_2j_2}(t^{-1}) x_{j_2j_1} r_{j_1i_1}(t) = 0. \]对任意 \(i_1, i_2, j_1, j_2\) 成立.
-
\(h^0 = \lambda I\)，所以 \(x_{i_2i_1}^0 = \lambda \delta_{i_2i_1}\). 又因为 \(\lambda = \frac{1}{n} \op{Tr}(h) = \frac{1}{n} \delta_{j_2j_1} x_{j_2j_1}\)，所以对照 \(x_{j_2j_1}\) 的系数可以得到
\[ \frac{1}{g} \sum_{t \in G} r_{i_2j_2}(t^{-1}) r_{j_1i_1}(t) = \frac{1}{n} \delta_{j_2j_1} \delta_{i_2i_1}. \]
-
Remark
-
若 \(\phi\) 和 \(\psi\) 均是 \(G\) 上的函数，令
\[ \langle \phi, \psi \rangle = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} \phi(t^{-1}) \psi(t) = \frac{1}{g} \sum_{t \in G} \psi(t^{-1}) \psi(t). \]也就有 \(\langle \phi, \psi \rangle = \langle \psi, \phi \rangle\)，并且 \(\langle \phi, \psi \rangle\) 对于 \(\phi\) 和 \(\psi\) 是线性的. 所以矩阵形式的推论可以改写为
\[\begin{gather*} \langle r_{i_2j_2}, r_{j_1i_1} \rangle = 0, \\ \langle r_{i_2j_2}, r_{j_1i_1} \rangle = \frac{1}{n} \delta_{j_2j_1} \delta_{i_2i_1}. \end{gather*}\] -
若矩阵 \(r_{ij}(t)\) 均是酉矩阵，便有 \(r_{ij}(t^{-1}) = \overline{r_{ji}(t)}\)，此时矩阵形式的推论就是数量积 \((\phi \mid \psi)\) 的正交性关系.
Orthogonality relations for characters¶
设 \(\psi\) 和 \(\phi\) 是两个 \(G\) 上的复值函数，定义
为数量积，其对于 \(\phi\) 线性，\(\psi\) 共轭线性，且对任意 \(\phi \neq 0\) 有 \((\phi \mid \phi) > 0\).
定义 \(\hat{\psi}\) 满足 \(\hat{\psi}(t) = \overline{\psi(t^{-1})}\)，便有
而对于特征标 \(\chi\)，\(\chi = \hat{\chi}\)，因而对任意 \(G\) 上的函数 \(\phi\)，均有 \((\phi \mid \chi) = \langle \phi, \chi \rangle\).
Theorem
-
若 \(\chi\) 是不可约表示的特征标，则有 \((\phi \mid \chi) = 1\).
-
若 \(\chi\) 和 \(\chi'\) 分别是两个不同构的不可约表示的特征标，则有 \((\phi \mid \chi') = 0\).
Proof
-
设 \(\rho\) 是特征标为 \(\chi\) 的不可约表示，矩阵形式为 \(\rho_t = r_{ij}(t)\). \(\chi_t = \sum r_{ii}(t)\)，因此
\[ (\phi \mid \chi) = \langle \phi, \chi \rangle = \sum_{i, j} \langle r_{ii}, r_{jj} \rangle. \]而 \(\langle r_{ii}, r_{jj} \rangle = \delta_{ij}/n\)，\(n\) 为 \(\rho\) 的度，所以
\[ (\phi \mid \chi) = \sum_{ij} \frac{\delta_{ij}}{n} = 1. \] -
为类似的证明，不过用到的是 \(\langle r_{ii}, r_{jj}' \rangle = 0\).
Theorem
设 \(V\) 是 \(G\) 的一个线性表示，特征标为 \(\phi\). \(V\) 能被分解为一系列不可约表示的直和
如果 \(W\) 是一个不可约表示，特征标为 \(\chi\)，那么同构于 \(W\) 的 \(W_i\) 的个数等于数量积 \((\phi \mid \chi) = \langle \phi, \chi \rangle\).
Proof
设 \(W_i\) 的特征标为 \(\chi_i\)，则
从而 \((\phi \mid \chi) = (\chi_1 \mid \chi) + \cdots + (\chi_k \mid \chi)\). 而 \((\chi_i \mid \chi) = \begin{cases} 1, W_i \cong W \\ 0, W_i \ncong W \end{cases}\)，所以得证.
Corollary
-
同构于 \(W\) 的 \(W_i\) 的个数不依赖于直和分解的选取.
-
拥有相同特征标的表示同构.
以上的结果将对表示的研究规约为对特征标的研究. 设 \(\chi_1, \ldots, \chi_h\) 为 \(G\) 的互异不可约特征标，\(W_1, \ldots, W_h\) 为对应的不可约表示. 每个表示 \(V\) 都同构于直和
其中 \(m_i\) 为非零整数. 所以 \(V\) 的特征标为 \(\phi = m_1 \chi_1 + \cdots + m_h \chi_h\)，且 \(m_i = (\phi \mid \chi_i)\). \(\chi_i\) 之间的正交关系还可以得出：
所以有
Theorem
若 \(\phi\) 为表示 \(V\) 的特征标，那么 \((\phi \mid \phi)\) 为正整数，并且等于 \(1\) 当且仅当 \(V\) 是不可约表示.
Decomposition of the regular representation¶
设 \(R\) 为 \(G\) 的正则表示. 注意到若 \(s \neq 1\)，\(\forall t\) 有 \(st \neq t\)，也就是说 \(\rho_s\) 的主对角线上的元素均为零，\(\op{Tr}(\rho_s) = 0\). 而 \(s = 1\) 的话，就有 \(\op{Tr}(\rho_1) = g\).
Proposition
正则表示的特征标 \(r_G\) 满足：
Corollary
-
所有不可约表示 \(W_i\) 都包含在正则表示中，且重数等于其度数.
Proof
\[ \langle r_G, \chi_i \rangle = \frac{1}{g} \sum_{s \in G} r_G(s^{-1}) \chi_i(s) = \frac{1}{g} g \chi_i(1) = n_i. \] -
-
\(n_i\) 满足 \(\sum_{i=1}^h n_i^2 = g\).
-
如果 \(s \in G\) 不等于 \(1\)，则 \(\sum_{i=1}^h n_i \chi_i(s) = 0\).
-
Number of irreducible representations¶
Proposition
设 \(f\) 为 \(G\) 上的类函数，\(\rho: G \to \mathbf{GL}(V)\) 是 \(G\) 的一个线性表示，\(\rho_f\) 为如下定义的 \(V\) 上的线性变换：
若 \(V\) 度数为 \(n\)，不可约，特征标为 \(\chi\)，则 \(\rho_f\) 是一个位似，比率为
Proof
计算 \(\rho_s^{-1} \rho_f \rho_s\)，有
即 \(\rho_f \rho_s = \rho_s \rho_f\)，\(\rho_f\) 是一个位似，从而有
现在引入群 \(G\) 上类函数空间 \(H\)，不可约特征标 \(\chi_1, \ldots, \chi_h\) 属于 \(H\).
Theorem
-
特征标 \(\chi_1, \ldots, \chi_h\) 构成 \(H\) 的一组标准正交基.
Proof
先前的定理证明了不可约特征标之间的正交关系，接下来证明其张成整个空间 \(H\)，那么只需要证明和所有 \(\overline{\chi_i}\) 都正交的元素只能是 \(0\). 设 \(f\) 为这样的元素，对任一 \(G\) 的表示 \(\rho\)，定义 \(\rho_f = \sum_{t \in G} f(t) \rho_t\). 若 \(\rho\) 是不可约的，根据命题便可以计算得到 \(\rho_f\) 为 \(0\)；而任一表示都可以直和分解为不可约表示，所以 \(\rho_f\) 恒为 \(0\). 将此结论应用于正则表示，并计算 \(\rho_f\) 在基向量 \(e_1\) 上的像，有
\[ \rho_f e_1 = \sum_{t \in G} f(t) \rho_t e_1 = \sum_{t \in G} f(t) e_t = 0. \]因为 \((e_i)\) 为表示空间的一组基，所以 \(f(t) = 0, \forall t \in G\)，即 \(f = 0\).
-
\(G\) 的不可约表示的数量（同构意义下）等于 \(G\) 的共轭类数量.
Proof
设 \(C_1, \ldots, C_k\) 为 \(G\) 的互异共轭类. \(f\) 是 \(G\) 上的类函数，即 \(f\) 分别在 \(C_i\) 为常数，所以 \(f\) 是由 \(C_i\) 上的取值 \(\lambda_i\) 决定的. 因而，\(H\) 的维度为 \(k\)，也就等于不可约表示的数量.
Proposition
设 \(s \in G\)，\(c(s)\) 为 \(s\) 所在的共轭类中的元素数量.
-
\(\sum_{i = 1}^h \overline{\chi_i(s)} \chi_i(s) = g/c(s)\);
-
对不与 \(s\) 共轭的 \(t \in G\)，\(\sum_{i = 1}^h \overline{\chi_i(s)} \chi_i(t) = 0\).
Proof
设 \(f_s\) 在 \(s\) 所在的类上取值为 \(1\)，其余类上为 \(0\). 因为其为类函数，所以可以用不可约特征标表示，即
系数 \(\lambda_i\) 为 \(f_s\) 与 \(\chi_i\) 的数量积：
所以对任意 \(t \in G\)，
代入验证即可.
Canonical decomposition of a representation¶
接下来考虑更粗略但可以唯一确定的分解. 设 \(\chi_1, \ldots, \chi_h\) 为 \(G\) 的不可约表示 \(W_1, \ldots, W_h\) 的互异特征标，度分别为 \(n_1, \ldots, n_h\). 设 \(V = U_1 \oplus \cdots \oplus U_m\) 为 \(V\) 的不可约分解，\(V_i\) 为 \(U_1, \ldots, U_m\) 中与 \(W_i\) 同构的表示的直和，显然有
这被称为 \(V\) 的典则分解.
Theorem
-
典则分解 \(V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_h\) 不依赖于最初选择的将 \(V\) 分解为不可约表示的方式.
-
与该分解相关联的投影 \(p_i: V \to V_i\) 满足
\[ p_i = \frac{n_i}{g} \sum_{t \in G} \overline{\chi_i(t)} \rho_t. \]
Proof
只用证明第 2 条，因为 \(p_i\) 决定了 \(V_i\) 的结构.
定义
前面的命题表明，如果将 \(q_i\) 限制到一个特征标为 \(\chi_j\)，度为 \(n\) 的不可约表示 \(W\) 上的话，其是一个位似，比率为
若 \(\chi_i \neq \chi\) 其值为 \(0\)，否则为 \(1\). 也就是说 \(q_i\) 在一个同构于 \(W_i\) 的不可约表示上为恒等映射，在其他的不可约表示上为 \(0\)，所以 \(q_i\) 限制在 \(V_i\) 上是恒等映射，而在 \(V_j \neq V_i\) 上为 \(0\). 如果将元素 \(x\) 分解为分量 \(x_i \in V_i\)，那么有
所以 \(q_i\) 是 \(V\) 到 \(V_i\) 的投影算子 \(p_i\).
Explicit decomposition of a representation¶
前面已经掌握了典则分解的方法，接下来就是考虑如何将 \(V_i\) 分解为同构于 \(W_i\) 的子表示的直和. 设 \(W_i\) 相对于基 \((e_1, \ldots, e_n)\) 的矩阵形式为 \(r_{\alpha \beta} (s)\)，则 \(\chi_i (s) = \sum_{\alpha} r_{\alpha \alpha} (s)\)，且 \(n = n_i = \dim W_i\). 定义 \(p_{\alpha \beta}\) 为
Proposition
-
映射 \(p_{\alpha \alpha}\) 是一个投影，在 \(V_{j \neq i}\) 上为 \(0\). 其像空间 \(V_{i, \alpha}\) 包含着 \(V_i\) 中，且 \(V_i = \oplus_{\alpha} V_{i, \alpha}\)，也就有 \(p_i = \sum_{\alpha} p_{\alpha \alpha}\).
-
映射 \(p_{\alpha \beta}\) 在 \(V_{j \neq i}\) 上为 \(0\)，在 \(V_{i, \gamma \neq \beta}\) 上也为 \(0\). 它是一个 \(V_{i, \beta}\) 到 \(V_{i, \alpha}\) 的同构.
-
设 \(0 \neq x_1 \in V_{i, 1}\)，\(x_\alpha = p_{\alpha 1}(x_1) \in V_{i, \alpha}\). \(x_\alpha\) 线性无关并且生成了一个 \(G\) 下不变的维数为 \(n\) 的子空间 \(W(x_1)\). 对每个 \(s \in G\)，有
\[ \rho_s(x_\alpha) = \sum_{\beta} r_{\beta \alpha} (s) x_\beta. \] -
若 \((x_1^{(1)}, \ldots, x_1^{(m)})\) 是 \(V_{i, 1}\) 的一组基，那么 \(V_i\) 是子表示 \(W(x_1^{(1)}), \ldots, W(x_1^{(m)})\) 的直和.
Proof
对于 \(W_i\)，有
依据 Schur's Lemma 的第 2 个矩阵元推论，有
所以 \(\sum_\alpha p_{\alpha \alpha}\) 是 \(W_i\) 上的恒等映射，且
而对于 \(W_{j \neq i}\)，应用 Schur's Lemma 的第 1 个矩阵元推论，就可以证明出所有 \(p_{\alpha \beta}\) 的值为 \(0\).
此时 1 和 2 的结论证明完成，接下来证明 3. \(x_\alpha\) 线性无关是显然的，且有
所以 \(W(x_1)\) 在 \(G\) 下不变，而且同构于 \(W_i\)，因为在 \(W_i\) 上有
4 的结论结合 1 2 3 即可.