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Fourier analysis in nonabelian groups

A brief introduction to representation theory

群 \(G\) 在向量空间 \(\mathbb{C}^n\) 上的一个表示是一个群同态 \(\sigma: G \to \op{GL}_n(\mathbb{C})\)，即将每个群元素 \(g \in G\) 映射到一个可逆的 \(n \times n\) 复矩阵 \(\sigma(g)\)，并且满足对 \(x, y \in G\) 有 \(\sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y)\). 显然 \(\sigma(e) = I_n\)，且 \(\sigma(g^{-1}) = \sigma(g)^{-1}\). 称 \(\mathbb{C}^n\) 为表示 \(\sigma\) 的表示空间，\(n\) 为表示的维数，记为 \(d_\sigma\).

表示空间均为 \(\mathbb{C}^n\) 的两个表示 \(\sigma, \sigma'\) 称为同构的，如果存在一个可逆线性变换 \(M \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，使得对所有 \(x \in G\) 有 \(M \sigma(x) = \sigma'(x) M\)，记为 \(\sigma \sim \sigma'\). 显然不同维数的表示不可能同构.此外，可以证明有限群的表示都同构于一个酉表示（参照Math-RepresentationTheory-GTM42-Chap1），酉表示满足 \(\sigma(x)^{-1} = \sigma(x)^\dagger, \forall x \in G\). 所以只需要关注酉表示即可，这也是量子计算中乐于看见的.

最简单的是那些一维表示，即 \(\forall x \in G, \sigma(x) \in \mathbb{C}\) 且 \(\lvert \sigma(x) \rvert = 1\). 定义 \(\sigma(x) = 1, \forall x \in G\) 的表示称为平凡表示.

左正则表示和右正则表示是两个重要的表示，维度均为 \(\lvert G \rvert\)，表示空间为群代数 \(\mathbb{C}G\)，即由基向量 \(\ket{x}, x \in G\) 张成的 \(\lvert G \rvert\) 维复向量空间. 左正则表示 \(L\) 定义为 \(L(x)\ket{y} = \ket{xy}\)，右正则表示 \(R\) 定义为 \(R(x)\ket{y} = \ket{y x^{-1}}\). 两个正则表示都是置换表示，每个表示矩阵都是置换矩阵.

给定两个表示 \(\sigma: G \to V\) 和 \(\sigma': G \to V'\)，它们的直和表示 \(\sigma \oplus \sigma': G \to V \oplus V'\) 定义为

\[ (\sigma \oplus \sigma')(x) = \begin{pmatrix} \sigma(x) & 0 \\ 0 & \sigma'(x) \end{pmatrix}, \]

维数为 \(d_{\sigma \oplus \sigma'} = d_\sigma + d_{\sigma'}\).

如果一个表示不能分解为两个其他表示的直和，则称为不可约表示. 有限群 \(G\) 的任何表示都可以分解为 \(G\) 不可约表示的直和.

组合两个表示的另一种方法是张量积. 给定两个表示 \(\sigma: G \to V\) 和 \(\sigma': G \to V'\)，它们的张量积表示 \(\sigma \otimes \sigma': G \to V \otimes V'\) 定义为

\[ (\sigma \otimes \sigma')(x) = \sigma(x) \otimes \sigma'(x), \]

且维数为 \(d_{\sigma \otimes \sigma'} = d_\sigma \cdot d_{\sigma'}\).

表示 \(\sigma\) 的特征标为函数 \(\chi_\sigma: G \to \mathbb{C}\)，定义为 \(\chi_\sigma(x) = \op{Tr}(\sigma(x))\). 有如下性质：

  • \(\chi_\sigma(e) = d_\sigma\).

  • \(\chi_\sigma(x^{-1}) = \chi_\sigma(x)^*\).

  • \(\chi_\sigma(y x) = \chi_\sigma(x y)\).

所以 \(\chi_\sigma(y x y^{-1}) = \chi_\sigma(x)\)，即特征标在共轭类上是常数. 直和和张量积表示的特征标满足 \(\chi_{\sigma \oplus \sigma'}(x) = \chi_\sigma(x) + \chi_{\sigma'}(x)\) 和 \(\chi_{\sigma \otimes \sigma'}(x) = \chi_\sigma(x) \cdot \chi_{\sigma'}(x)\).

表示论中最重要的结果之一是Schur's Lemma，它说明了不可约表示之间的同态结构：

Schur's Lemma

设 \(\sigma\) 和 \(\sigma'\) 是群 \(G\) 的两个不可约表示，\(M \in \mathbb{C}^{d_{\sigma} \times d_{\sigma'}}\) 是一个线性变换，满足对所有 \(x \in G\) 有 \(M \sigma(x) = \sigma'(x) M\). 那么如果 \(\sigma \not\sim \sigma'\)，则 \(M = 0\)；如果 \(\sigma \sim \sigma'\)，则存在一个标量 \(\lambda \in \mathbb{C}\)，使得 \(M = \lambda I\).

Schur's Lemma 可以证明不可约表示的正交性：

Theorem

对于 \(G\) 的两个不可约表示 \(\sigma\) 和 \(\sigma'\)，有

\[ \frac{d_\sigma}{\lvert G \rvert} \sum_{x \in G} \sigma(x)_{i,j}^* \sigma'(x)_{i',j'} = \delta_{\sigma, \sigma'} \delta_{i,i'} \delta_{j,j'}, \]

其中 \(\delta_{\sigma, \sigma'} = \begin{cases} 1, & \sigma \sim \sigma' \\ 0, & \sigma \not\sim \sigma' \end{cases}\).

这也就导出了不可约表示的特征标的相应正交关系：

Theorem

对于 \(G\) 的两个不可约表示 \(\sigma\) 和 \(\sigma'\)，有

\[ (\chi_\sigma, \chi_{\sigma'}) := \frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{x \in G} \chi_\sigma(x)^* \chi_{\sigma'}(x) = \delta_{\sigma, \sigma'}. \]

所以 \(G\) 的特征标为类函数空间提供了一组正交基. 这可以通过特征标表来表示，表的行对应不可约表示，列对应共轭类，每个元素为该表示在该共轭类上的特征标值. 特征标正交定理表明，在每个元素按共轭类大小归一化的前提下，特征标表的行向量是正交的.

\(G\) 的正则表示对于理解表示的不可约分解非常有用，因为正则表示包含了 \(G\) 的所有不可约表示，每个不可约表示 \(\sigma\) 出现的次数等于其维数 \(d_\sigma\). 设 \(\hat{G}\) 表示 \(G\) 的一个完全的不可约表示系，则有：

\[ L \cong \bigoplus_{\sigma \in \hat{G}} (\sigma \otimes I_{d_\sigma}), \quad R \cong \bigoplus_{\sigma \in \hat{G}} (I_{d_\sigma} \otimes \sigma^*). \]

实际上，\(L\) 和 \(R\) 使用的是相同的同构映射，因为左右正则表示是可交换的；而这个同构映射就是 \(G\) 上的 Fourier 变换.

考虑 \(\chi_L(e) = \chi_R(e) = \lvert G \rvert\)，以及以上的这个分解式，可以得到著名的恒等式：

\[ \sum_{\sigma \in \hat{G}} d_\sigma^2 = \lvert G \rvert. \]

而注意到对于任何 \(x \in G \setminus \{ e \}\)，都有 \(\chi_L(x) = \chi_R(x) = 0\)，所以可以得到另一个恒等式：

\[ \sum_{\sigma \in \hat{G}} d_\sigma \chi_\sigma(x) = 0. \]

一般来说，不可约表示 \(\sigma \in \hat{G}\) 在任意表示 \(\tau\) 中的重数由 \(\mu_\sigma^\tau = (\chi_\sigma, \chi_\tau)\) 给出. 因此，任意表示 \(\tau\) 都可以写成不可约表示的直和：

\[ \tau \cong \bigoplus_{\sigma \in \hat{G}} (\sigma \otimes I_{\mu_\sigma^\tau}). \]

这也提供了一个简单不可约性的检验：对于任何表示 \(\sigma\)，\((\chi_\sigma, \chi_\sigma)\) 都是整数，且当且仅当 \(\sigma\) 不可约时取值为 1.

\(G\) 上的任何表示也可被视为其任何子群 \(H \leq G\) 上的表示，只需限制定义域即可，由此得到的限制表示记为 \(\op{Res}_H^G \sigma\). 不过。即使 \(\sigma\) 在 \(G\) 上不可约，其限制表示 \(\op{Res}_H^G \sigma\) 在 \(H\) 上也可能是可约的.

Fourier analysis for nonabelian groups

Fourier 变换是从群代数 \(\mathbb{C}G\) 映射到复向量空间 \(\oplus_{\sigma \in \hat{G}} \mathbb{C}^{d_\sigma \times d_\sigma}\) 的线性变换，该复向量空间的基向量对应 \(G\) 的所有不可约表示的矩阵元素.

对应于群元素 \(x \in G\) 的基向量 \(\ket{x} \in \mathbb{C}G\) 的 Fourier 变换实际上是覆盖所有不可约表示 \(\sigma \in \hat{G}\) 的加权叠加：

\[ \ket{\hat{x}} := \sum_{\sigma \in \hat{G}} \sqrt{\frac{d_\sigma}{\lvert G \rvert}} \ket{\sigma, \sigma(x)}, \]

其中 \(\ket{\sigma}\) 是标记不可约表示的量子态，\(\ket{\sigma(x)}\) 是一个归一化的 \(d_\sigma^2\) 维量子态，其振幅对应矩阵 \(\sigma(x)/\sqrt{d_\sigma}\) 的各个元素：

\[ \ket{\sigma(x)} := \sum_{j, k=1}^{d_\sigma} \frac{\sigma(x)_{j,k}}{\sqrt{d_\sigma}} \ket{j,k}. \]

Remark

如果 \(\sigma\) 是一维表示，那么 \(\ket{\sigma(x)}\) 只是一个相位因子 \(\sigma(x) = \chi_\sigma(x) \in \mathbb{C}\)，其中 \(\lvert \sigma(x) \rvert = 1\).

所以 \(G\) 上的 Fourier 变换为

\[\begin{align*} F_G & := \sum_{x \in G} \ket{\hat{x}}\bra{x} \\ & = \sum_{x \in G} \sum_{\sigma \in \hat{G}} \sqrt{\frac{d_\sigma}{\left\lvert G \right\rvert}} \sum_{j, k=1}^{d_\sigma} \sigma(x)_{j,k} \ket{\sigma, j, k} \bra{x}. \end{align*}\]

需要注意的是，\(G\) 上的 Fourier 变换与 \(G\) 的不可约表示的选择有关. 接下来验证 \(F_G\) 是酉变换，利用恒等式：

\[\begin{align*} \innerproduct{\sigma(y)}{\sigma(x)} & = \op{Tr} \sigma^\dagger(y) \sigma(x) / d_\sigma \\ & = \op{Tr} \sigma(y^{-1} x) / d_\sigma \\ & = \chi_\sigma(y^{-1} x) / d_\sigma. \end{align*}\]

从而

\[\begin{align*} \innerproduct{\hat{y}}{\hat{x}} & = \sum_{\sigma} \frac{d_\sigma^2}{\lvert G \rvert} \innerproduct{\sigma(y)}{\sigma(x)} \\ & = \sum_{\sigma} \frac{d_\sigma}{\lvert G \rvert} \chi_\sigma(y^{-1} x). \end{align*}\]

依据不可约表示维数平方和恒等式，便可以得到 \(\innerproduct{\hat{y}}{\hat{x}} = \delta_{x,y}\)，从而 \(F_G\) 是酉变换.

\(F_G\) 正是将 \(G\) 的左右正则表示分解成其不可约表示的同构映射. 以左正则表示为例来验证，回忆 \(L(x)\ket{y} = \ket{xy}\)，则有

\[\begin{align*} \hat{L}(x) & := F_G L(x) F_G^\dagger \\ & = \sum_{y \in G} \ket{\widehat{xy}} \bra{\hat{y}} \\ & = \sum_{y \in G} \sum_{\sigma, \sigma' \in \hat{G}} \sum_{j, k=1}^{d_\sigma} \sum_{j', k'=1}^{d_{\sigma'}} \frac{\sqrt{d_\sigma d_{\sigma'}}}{\lvert G \rvert} \sigma(xy)_{j,k} \sigma'(y)_{j',k'}^* \ket{\sigma, j, k} \bra{\sigma', j', k'} \\ & = \sum_{y \in G} \sum_{\sigma, \sigma' \in \hat{G}} \sum_{j, k, l=1}^{d_\sigma} \sum_{j', k'=1}^{d_{\sigma'}} \frac{\sqrt{d_\sigma d_{\sigma'}}}{\lvert G \rvert} \sigma(x)_{j,l} \sigma(y)_{l,k} \sigma'(y)_{j',k'}^* \ket{\sigma, j, k} \bra{\sigma', j', k'} \\ & = \sum_{\sigma \in \hat{G}} \sum_{j, k, l=1}^{d_\sigma} \sigma(x)_{j,l} \ket{\sigma, j, k} \bra{\sigma, l, k} \\ & = \bigoplus_{\sigma \in \hat{G}} (\sigma(x) \otimes I_{d_\sigma}), \end{align*}\]

其中利用了正交性关系 \(\sum_{y \in G} \sigma(y)_{l,k} \sigma'(y)_{j',k'}^* = \frac{\lvert G \rvert}{d_\sigma} \delta_{\sigma, \sigma'} \delta_{l,j'} \delta_{k,k'}\).

对右正则表示 \(R(x) \ket{y} = \ket{y x^{-1}}\) 进行类似的验证得到：

\[\begin{align*} \hat{R}(x) & := F_G R(x) F_G^\dagger \\ & = \bigoplus_{\sigma \in \hat{G}} (I_{d_\sigma} \otimes \sigma^*(x)). \end{align*}\]

这个恒等式在分析 \(\op{QFT}\) 在隐藏子群问题中的应用时将非常有用.

为了将 Fourier 变换用作量子计算的一部分，我们必须能够通过某种量子电路来高效地实现它. 对于某些特殊的非阿贝尔群这已经被实现了，包括亚循环群（循环群的半直积），如二面体群；对称群；以及许多具有良好性质子群塔的群族. 但有一些著名的群尚未知晓是否存在高效的 \(\op{QFT}\) 实现方法，例如在具有 \(q\) 个元素的有限域 \(\mathbb{F}_q\) 上的一般线性群 \(\op{GL}_n(q)\).