阿贝尔群 \(G\) 上的量子傅里叶变换(quantum Fourier transform, \(\op{QFT}\))定义为
\[
F_G := \frac{1}{\sqrt{\lvert G \rvert}} \sum_{x \in G} \sum_{y \in \hat{G}} \chi_y(x) \ket{y}\bra{x}.
\]
\(\hat{G}\) 是 \(G\) 的一个完全特征标集,\(\chi_y(x)\) 表示 \(G\) 的第 \(y\) 个特征标在 \(x\) 处的取值.
最简单的 \(\op{QFT}\) 情形对应 \(G = \mathbb{Z}_2^n\),因为其上的特征标为 \(\chi_y(x) = (-1)^{x \cdot y}\),所以
\[
F_{\mathbb{Z}_2^n} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^n} (-1)^{x \cdot y} \ket{y}\bra{x} = H^{\otimes n}.
\]
\(\op{QFT}\) over \(\mathbb{Z}_{2^n}\)
\(G = \mathbb{Z}_{2^n}\) 时 情况稍微复杂些:
\[
F_{\mathbb{Z}_{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x, y \in \mathbb{Z}_{2^n}} \omega_{2^n}^{xy} \ket{y}\bra{x}.
\]
其中 \(\omega_m = e^{2\pi \i / m}\) 是 \(m\) 次单位根. 接下来将 \(x, y\) 写作二进制串来进行分析:
\[\begin{align*}
\ket{x} & \mapsto \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{y \in \mathbb{Z}_{2^n}} \omega_{2^n}^{xy} \ket{y} \\
& = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{y \in \mathbb{Z}_{2^n}} \omega_{2^n}^{x\left(\sum_{k=0}^{n-1} 2^k y_k\right)} \ket{y_{n-1} \ldots y_1y_0} \\
& = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{y \in \mathbb{Z}_{2^n}} \prod_{k=0}^{n-1} \omega_{2^n}^{x y_k 2^k} \ket{y_{n-1} \ldots y_1y_0} \\
& = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \bigotimes_{k=0}^{n-1} \sum_{y_k \in \mathbb{Z}_2} \omega_{2^n}^{x y_k 2^k} \ket{y_k} \\
& = \bigotimes_{k=0}^{n-1} \ket{z_k},
\end{align*}\]
其中
\[\begin{align*}
\ket{z_k} & := \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{y_k \in \mathbb{Z}_2} \omega_{2^n}^{x y_k 2^k} \ket{y_k} \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{0} + \omega_{2^n}^{x 2^k} \ket{1} \right) \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{0} + \omega_{2^n}^{\left(\sum_{j=0}^{n-1} x_j 2^{j+k}\right)} \ket{1} \right) \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{0} + e^{2\pi \i \left(x_0 2^{k-n} + x_1 2^{k+1-n} + \cdots + x_{n-1-k} 2^{-1}\right)} \ket{1} \right).
\end{align*}\]
也可写作 \(\ket{z_k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{0} + \omega_{2^{n-k}}^x \ket{1} \right)\),第一种写法便于理解其电路实现. 所以 \(F\ket{x}\)是单比特态 \(\ket{z_k}\) 的张量积,第 \(k\) 个量子比特只由 \(x\) 的低 \(n-k\) 位决定. 定义
\[
R_k := \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \omega_{2^k}
\end{pmatrix},
\]
电路图与复杂度不多赘述.
Phase estimation
相位估计也是基于 \(\mathbb{Z}_{2^n}\) 上的 \(\op{QFT}\). 给定酉算子 \(U\) 及其本征态 \(\ket{\phi}\),满足 \(U\ket{\phi} = e^{\i \phi} \ket{\phi}\). \(U\) 要么是白盒形式,要么是允许进行受控 \(U^j\) 操作的黑盒形式. 目标是在合适的精度下估计 \(\phi\). 为了得到 \(\phi\) 的 \(n\) 位二进制近似,需要先制备状态
\[
\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in \mathbb{Z}_{2^n}} \ket{x, \phi},
\]
然后应用算子
\[
\sum_{x \in \mathbb{Z}_{2^n}} \ket{x}\bra{x} \otimes U^x,
\]
得到
\[
\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in \mathbb{Z}_{2^n}} e^{\i \phi x} \ket{x, \phi}.
\]
对第一个寄存器应用逆 \(\op{QFT}\) 并进行测量. 如果 \(\phi/2\pi\) 的二进制展开在至多 \(n\) 位后终止(即 \(\phi = 2\pi y/2^n\)),那么之前的状态便可以写作 \(F_{\mathbb{Z}_{2^n}} \ket{y} \otimes \ket{\phi}\),得到的 \(y\) 就是 \(\phi/2\pi\) 的精确二进制表示. 一般情况下是高概率得到较好的近似,特别地,获得 \(y\) 的概率为
\[
\op{Pr}(y) = \frac{1}{2^{2n}} \frac{\sin^2(2^{n-1} \phi)}{\sin^2(\phi/2 - \pi y / 2^n)}.
\]
\(\op{QFT}\) over \(\mathbb{Z}_N\) and over general finite abelian groups
可以进一步利用相位估计来实现任意循环群 \(\mathbb{Z}_N\) 上的 \(\op{QFT}\):
\[
F_{\mathbb{Z}_N} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x, y \in \mathbb{Z}_N} \omega_N^{xy} \ket{y}\bra{x}.
\]
目标是 \(\ket{x} \mapsto \ket{\tilde{x}}\),其中 \(\ket{\tilde{x}} := F_{\mathbb{Z}_N} \ket{x}\) 是一个 Fourier 基态. 而直接执行 \(\ket{x, 0} \mapsto \ket{x, \tilde{x}}\) 是相对简单的,所以问题转变为如何擦除 \(\ket{x}\). 考虑模 \(N\) 加 \(1\) 的酉算子
\[
U := \sum_{x \in \mathbb{Z}_N} \ket{x+1}\bra{x}.
\]
该算子的特征态正是傅里叶基态 \(\ket{\tilde{x}}\),因为
\[
F_{\mathbb{Z}_N}^\dagger U F_{\mathbb{Z}_N} = \sum_{x \in \mathbb{Z}_N} \omega_N^{-x} \ket{x}\bra{x},
\]
也就有
\[
U \ket{\tilde{x}} = \omega_N^{-x} \ket{\tilde{x}}.
\]
所以通过 \(U\) 上的相位估计可以得到 \(x\) 的近似值,也就可以实现
\[
\ket{\tilde{x}, 0} \mapsto \ket{\tilde{x}, x}.
\]
逆向操作便可以擦除 \(\ket{x}\).
而有限阿贝尔群可以被分解为循环群的直积,群直积的 \(\op{QFT}\) 可以通过各个循环群的 \(\op{QFT}\) 的张量积来实现.