Distance measures for quantum information

Distance measures for classical information

Hamming distance: 本质依赖于标签的设定，而对于 Hilbert Space 不存在先天的标签设定.

更好的起点是比较经典的概率分布，总共有两种方式. 第一种是迹距离（trace distance）：

Definition(trace distance)

设 \(\{p_x\}\) 和 \(\{q_x\}\) 是在指标集 \(X\) 上的两个概率分布，则它们的迹距离定义为

\[ D(\{p_x\}, \{q_x\}) = \frac{1}{2} \sum_{x \in X} \lvert p_x - q_x \rvert. \]

这也被称为 \(L_1\) 距离或 Kolmogorov 距离. 迹距离也是概率分布上的度量，因为其满足对称性和三角不等式.

第二种是保真度（fidelity）：

Definition(fidelity)

设 \(\{p_x\}\) 和 \(\{q_x\}\) 是在指标集 \(X\) 上的两个概率分布，则它们的保真度定义为

\[ F(\{p_x\}, \{q_x\}) = \sum_{x \in X} \sqrt{p_x q_x}. \]

其显然不是度量. 可以通过球面上的向量 \((\sqrt{p_x})_{x \in X}\) 和 \((\sqrt{q_x})_{x \in X}\) 的内积来理解保真度.

迹距离可以被证明满足如下的性质：

\[ D_{p_x, q_x} = \max_S \lvert p(S) - q(S) \rvert = \max_S \lvert \sum_{x \in S} p_x - \sum_{x \in S} q_x \rvert. \]

其中最大化遍历指标集 \(\{x\}\) 的所有子集 \(S\)，被最大化的量为事件 \(S\) 在分布 \(\{p_x\}\) 下的发生概率和在分布 \(\{q_x\}\) 下的发生概率之差的绝对值. 因此，事件 \(S\) 本质上是区分分布 \(\{p_x\}\) 和 \(\{q_x\}\) 的最优检测事件，而迹距离决定了这种区分的最大可能程度.

遗憾的是，对于保真度而言，尚未发现类似迹距离的清晰物理操作解释. 然而，保真度在数学分析中具有充分的应用价值，即使缺乏明确的物理解释，其研究意义依然重大. 此外，我们无法排除未来可能发现保真度新解释的可能性. 最后需要强调的是：保真度与迹距离存在深刻联系，二者的性质常可相互推导，这一事实在实际应用中往往带来意外价值.

迹距离和保真度是用于比较固定概率分布的静态距离度量. 还存在第三种距离概念：动态距离度量，它通过物理过程的信息保真度来评估距离. 假设随机变量 \(X\) 通过噪声信道传输后输出随机变量 \(Y\)，形成马尔可夫过程 \(X \to Y\). 为简化，假定 \(X\) 和 \(Y\) 取值于同一集合 \(\{x\}\). 此时，输出与输入不相等的概率 \(p(X \neq Y)\) 是衡量信息在过程中保留程度的一个直观且重要的指标.

动态距离可以被视作静态迹距离的一个特例. 给定一个随机变量 \(X\)，首先创建一个新的随机变量 \(\hat{X} = X\)，而后将 \(X\) 通过噪声信道传输得到 \(Y\)，那么 \((\hat{X}, X)\) 和 \((\hat{X}, Y)\) 有多接近呢？可以通过计算它们的迹距离来回答这个问题：

\[\begin{align*} D((\hat{X}, X), (\hat{X}, Y)) & = \frac{1}{2} \sum_{x, x'} \lvert \delta_{x, x'}p(X = x) - p(\hat{X} = x, Y = x') \rvert \\ & = \frac{1}{2} \sum_{x \neq x'} p(\hat{X} = x, Y = x') + \frac{1}{2} \sum_{x = x'} \lvert p(X = x) - p(\hat{X} = x, Y = x) \rvert \\ & = \frac{1}{2} \sum_{x \neq x'} p(\hat{X} = x, Y = x') + \frac{1}{2} \sum_{x} (p(X = x) - p(\hat{X} = x, Y = x)) \\ & = \frac{1}{2} (p(\hat{X} \neq Y) + 1 - p(\hat{X} = Y)) \\ & = \frac{1}{2} (p(\hat{X} \neq Y) + p(\hat{X} = Y)) \\ & = p(\hat{X} \neq Y). \end{align*}\]

因此信道错误概率等于关联对 \((\hat{X}, X)\) 和 \((\hat{X}, Y)\) 的迹距离. 其将作为量子类比的基础，因为量子力学中不存在类似 \(p(X \neq Y)\) 的概念（量子态无不同时间的联合分布）. 取而代之，可以采用以上的构造方法，将量子纠缠作为量子信道动态过程中需保护的核心要素.

How close are two quantum states?

Trace distance

首先定义量子态的迹距离：

Definition(trace distance)

设 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 是两个量子态，则它们的迹距离定义为

\[ D(\rho, \sigma) = \frac{1}{2} \op{Tr} \lvert \rho - \sigma \rvert. \]

定义 \(\lvert A \rvert = \sqrt{A^\dagger A}\) 为 \(A^\dagger A\) 的正平方根.

注意到量子迹距离实际上是经典迹距离的推广，如果 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 是可交换的，那么 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的迹距离等于它们的特征值之间的迹距离. 因为 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 可交换，所以它们可以在同一组基下对角化，设存在正交基 \(\{\ket{i}\}\) 使得 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的对角形式为

\[ \rho = \sum_i r_i \ket{i} \bra{i}, \quad \sigma = \sum_i s_i \ket{i} \bra{i}, \]

那么

\[ D(\rho, \sigma) = \frac{1}{2} \op{Tr} \left\lvert \sum_i (r_i - s_i) \ket{i} \bra{i} \right\rvert = D(\{r_i\}, \{s_i\}). \]

假定 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的 Bloch 向量分别为 \(\vec{r}\) 和 \(\vec{s}\)，即

\[ \rho = \frac{1}{2} (I + \vec{r} \cdot \vec{\sigma}), \quad \sigma = \frac{1}{2} (I + \vec{s} \cdot \vec{\sigma}), \]

那么 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的迹距离可以被写为

\[ D(\rho, \sigma) = \frac{1}{4} \op{Tr} \left\lvert (\vec{r} - \vec{s}) \cdot \vec{\sigma} \right\rvert. \]

\((\vec{r} - \vec{s}) \cdot \vec{\sigma}\) 的特征值为 \(\pm \lvert \vec{r} - \vec{s} \rvert\)，所以迹为 \(2\lvert \vec{r} - \vec{s} \rvert\)，因此

\[ D(\rho, \sigma) = \frac{1}{2} \lvert \vec{r} - \vec{s} \rvert. \]

也就是说，两个单量子比特之间的距离是其 Bloch 向量之间的距离的一半. 因而，某些 Bloch 球上距离性质可以类比到迹距离上，如 Bloch 球的旋转不改变距离，那么很自然的联想到迹距离在酉操作下不变，即

\[ D(U \rho U^\dagger, U \sigma U^\dagger) = D(\rho, \sigma). \]

为了更好地了解量子迹距离，首先证明一个经典迹距离的等价式的推广：

\[ D(\rho, \sigma) = \max_{P} \op{Tr} \lvert (P(\rho - \sigma)) \rvert, \]

其中最大化遍历了所有的投影算子 \(P\)，或所有正算子 \(P \leq I\). 因为 POVM 的元素都是满足 \(P \leq I\) 的正算子，所以迹距离相当于同一 POVM 元素 \(P\) 在量子态 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 上出现概率的最大值，即最优量子测量下的可区分度.

exercise

证明对任意量子态 \(\rho\) 和 \(\sigma\)，可将 \(\rho - \sigma\) 分解为 \(Q - S\)，其中 \(Q\) 和 \(S\) 是正算子，并且 \(Q\) 和 \(S\) 的支撑空间正交.

Proof

设 \(A = \rho - \sigma\)，因为 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 都是密度算子，所以 \(A\) 是自伴算子，依据谱定理，存在酉算子 \(U\) 和对角矩阵 \(D\) 使得

\[ A = U D U^\dagger, \]

其中 \(D = \op{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\)，\(\lambda_i \in \mathbb{R}\) 是 \(A\) 的特征值.

将 \(D\) 分解为 \(D = D_+ - D_-\)，其中 \(D_+ = \op{diag}(\max(\lambda_i, 0))\) 和 \(D_- = \op{diag}(\max(-\lambda_i, 0))\)，\(D_+\) 和 \(D_-\) 都是正算子，并且 \(D_+ D_- = 0\).

定义 \(Q = U D_+ U^\dagger\) 和 \(S = U D_- U^\dagger\)，则 \(Q\) 和 \(S\) 都是正算子，并且 \(Q - S = A\). 因为 \(D_+ D_- = 0\)，所以

\[ Q S = (U D_+ U^\dagger)(U D_- U^\dagger) = U D_+ D_- U^\dagger = 0, \]

从而 \(Q\) 和 \(S\) 的支撑空间正交.

下面证明 \(\lvert \rho - \sigma \rvert = Q + S\). 设 \(A = \rho - \sigma\)，则

\[ A^2 = (Q - S)^2 = Q^2 - QS - SQ + S^2 = Q^2 + S^2, \]

而 \(A\) 是自伴算子，有

\[ \lvert A \rvert = \sqrt{A^\dagger A} = \sqrt{A^2} = \sqrt{Q^2 + S^2}. \]

因为 \(Q\) 和 \(S\) 的支撑空间正交，所以存在一组标准正交基 \(\{\ket{i}\}\) 使得

\[ Q = \sum_i q_i \ket{i} \bra{i}, \quad S = \sum_i s_i \ket{i} \bra{i}, \]

代入得到 \(\lvert A \rvert = \sum_i \sqrt{q_i^2 + s_i^2} \ket{i} \bra{i}\)，并且因为 \(q_i s_i = 0\)，所以

• 若 \(q_i > 0\)，则 \(s_i = 0\)，因此 \(\sqrt{q_i^2 + s_i^2} = q_i\)；
• 若 \(s_i > 0\)，则 \(q_i = 0\)，因此 \(\sqrt{q_i^2 + s_i^2} = s_i\)；
• 若 \(q_i = s_i = 0\)，则 \(\sqrt{q_i^2 + s_i^2} = 0\).

也就有 \(\lvert \rho - \sigma \rvert = \lvert A \rvert = \sum_i (q_i + s_i) \ket{i} \bra{i} = Q + S\).

进而 \(D(\rho, \sigma) = \frac{1}{2} (\op{Tr} Q + \op{Tr} S)\). 而因为 \(\op{Tr} (\rho - \sigma) = \op{Tr} (Q - S) = 0\)，所以 \(\op{Tr} Q = \op{Tr} S\)，也就有 \(D(\rho, \sigma) = \op{Tr} Q = \op{Tr} S\).

设 \(P\) 是 \(Q\) 的支撑空间上的投影算子，那么

\[ \op{Tr} (P(\rho - \sigma)) = \op{Tr} (P(Q - S)) = \op{Tr} Q = D(\rho, \sigma). \]

而如果 \(P\) 是任意投影算子，那么

\[ \op{Tr} (P(\rho - \sigma)) = \op{Tr} (P(Q - S)) \leq \op{Tr} (PQ) \leq \op{Tr} Q = D(\rho, \sigma). \]

得证.

Theorem

设 \(\{E_m\}\) 为一个 POVM，其中 \(p_m \equiv \op{Tr} (\rho E_m)\) 和 \(q_m \equiv \op{Tr} (\sigma E_m)\) 分别是量子态 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 下得到结果 \(m\) 的概率，则

\[ D(\rho, \sigma) = \max_{\{E_m\}} D(\{p_m\}, \{q_m\}). \]

其中最大化遍历所有的 POVM \(\{E_m\}\).

Proof

注意到

\[ D(\{p_m\}, \{q_m\}) = \frac{1}{2} \sum_m \lvert \op{Tr} (E_m (\rho - \sigma)) \rvert. \]

应用先前的谱分解有 \(\rho - \sigma = Q - S\)，且 \(\lvert \rho - \sigma \rvert = Q + S\)，因此

\[\begin{align*} \lvert \op{Tr} (E_m (\rho - \sigma)) \rvert & = \lvert \op{Tr} (E_m Q) - \op{Tr} (E_m S) \rvert \\ & \leq \op{Tr} (E_m Q) + \op{Tr} (E_m S) \\ & = \op{Tr} (E_m (Q + S)) \\ & = \op{Tr} (E_m \lvert \rho - \sigma \rvert). \end{align*}\]

因而有

\[\begin{align*} D(\{p_m\}, \{q_m\}) & = \frac{1}{2} \sum_m \lvert \op{Tr} (E_m (\rho - \sigma)) \rvert \\ & \leq \frac{1}{2} \sum_m \op{Tr} (E_m \lvert \rho - \sigma \rvert) \\ & = \frac{1}{2} \op{Tr} \left(\lvert \rho - \sigma \rvert \sum_m E_m \right) \\ & = \frac{1}{2} \op{Tr} \left(\lvert \rho - \sigma \rvert \cdot I \right) \\ & = D(\rho, \sigma). \end{align*}\]

而另一个方向上，只需构造投影到 \(Q\) 和 \(S\) 的投影算子 \(P_Q\) 和 \(P_S\)，则有 \(D(\rho, \sigma) = D(\{p_m\}, \{q_m\})\).

因此，若两个密度算子在迹距离下接近，则对这两个量子态执行的任何测量所产生的概率分布，在经典迹距离意义下也是接近的. 这给出了量子态间迹距离的第二种解释：它是通过量子态测量所得概率分布之间迹距离的可达到上界.

接下来证明迹距离的三角不等式，注意到存在投影算子 \(P\) 使得 \(D(\rho, \sigma) = \op{Tr} (P (\rho - \sigma))\)，因此

\[\begin{align*} D(\rho, \sigma) & = \op{Tr} (P (\rho - \sigma)) \\ & = \op{Tr} (P (\rho - \tau + \tau - \sigma)) \\ & = \op{Tr} (P (\rho - \tau)) + \op{Tr} (P (\tau - \sigma)) \\ & \leq D(\rho, \tau) + D(\tau, \sigma). \end{align*}\]

Theorem(Trace-preserving quantum operations are contractive)

设 \(\mathcal{E}\) 是一个迹保持的量子操作，则对任意密度算子 \(\rho\) 和 \(\sigma\)，有

\[ D(\mathcal{E}(\rho), \mathcal{E}(\sigma)) \leq D(\rho, \sigma). \]

Proof

应用谱分解 \(\rho - \sigma = Q - S\)，设 \(P\) 为满足 \(D(\mathcal{E}(\rho), \mathcal{E}(\sigma)) = \op{Tr} (P (\mathcal{E}(\rho) - \mathcal{E}(\sigma)))\) 的投影算子. 因为 \(\op{Tr} Q - \op{Tr} S = \op{Tr} (\rho - \sigma) = 0\)，所以 \(\op{Tr} Q = \op{Tr} S\)，\(\op{Tr} (\mathcal{E}(Q)) = \op{Tr} (\mathcal{E}(S))\)，因此

\[\begin{align*} D(\rho, \sigma) & = \frac{1}{2} \op{Tr} \lvert \rho - \sigma \rvert \\ & = \frac{1}{2} \op{Tr} (Q + S) \\ & = \frac{1}{2} \op{Tr} Q + \frac{1}{2} \op{Tr} S \\ & = \frac{1}{2} \op{Tr} \mathcal{E}(Q) + \frac{1}{2} \op{Tr} \mathcal{E}(S) \\ & = \op{Tr} \mathcal{E}(Q) \\ & \geq \op{Tr} (P (\mathcal{E}(Q))) \\ & \geq \op{Tr} (P (\mathcal{E}(Q) - \mathcal{E}(S))) \\ & = \op{Tr} (P (\mathcal{E}(\rho) - \mathcal{E}(\sigma))) \\ & = D(\mathcal{E}(\rho), \mathcal{E}(\sigma)). \end{align*}\]

Theorem(Strong convexity of the trace distance)

设 \(\{p_i\}\) 和 \(\{q_i\}\) 是两个同一指标集上的概率分布，\(\rho_i\) 和 \(\sigma_i\) 是同一指标集下的密度算子，则

\[ D(\sum_i p_i \rho_i, \sum_i q_i \sigma_i) \leq D(\{p_i\}, \{q_i\}) + \sum_i p_i D(\rho_i, \sigma_i), \]

其中 \(D(\{p_i\}, \{q_i\})\) 是经典迹距离.

Proof

存在投影算子 \(P\) 使得

\[\begin{align*} D(\sum_i p_i \rho_i, \sum_i q_i \sigma_i) & = \op{Tr} (P (\sum_i p_i \rho_i - \sum_i q_i \sigma_i)) \\ & = \sum_i p_i \op{Tr} (P (\rho_i - \sigma_i)) + \sum_i (p_i - q_i) \op{Tr} (P \sigma_i) \\ & \leq \sum_i p_i D(\rho_i, \sigma_i) + D(\{p_i\}, \{q_i\}). \end{align*}\]

Fidelity

接下来定义量子态的保真度：

Definition(fidelity)

设 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 是两个量子态，则它们的保真度定义为

\[ F(\rho, \sigma) = \op{Tr} \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}}. \]

初看这不是衡量 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 之间距离的直观方法，因为其看起来似乎不满足对称性，但接下来将证明保真度满足对称性，并且具备诸多优秀度量所具有的性质.

在两种特例下，保真度可以得到简化. 一是 \(\sigma\) 和 \(\rho\) 可交换，即可以在同一组标准正交基下对角化：

\[ \rho = \sum_i r_i \ket{i} \bra{i}, \quad \sigma = \sum_i s_i \ket{i} \bra{i}. \]

那么保真度为

\[\begin{align*} F(\rho, \sigma) & = \op{Tr} \sqrt{\sum_i r_i s_i \ket{i} \bra{i}} \\ & = \op{Tr} \left(\sum_i \sqrt{r_i s_i} \ket{i} \bra{i}\right) \\ & = \sum_i \sqrt{r_i s_i} \\ & = F(\{r_i\}, \{s_i\}). \end{align*}\]

即当 \(\sigma\) 和 \(\rho\) 可交换时，量子保真度退化为其特征值分布的经典保真度.

二是纯态和任意态的情况，代入计算有

\[\begin{align*} F(\ket{\psi}, \rho) & = \op{Tr} \sqrt{\sqrt{\ket{\psi} \bra{\psi}} \rho \sqrt{\ket{\psi} \bra{\psi}}} \\ & = \op{Tr} \sqrt{\ket{\psi} \bra{\psi} \rho \ket{\psi} \bra{\psi}} \\ & = \op{Tr} \sqrt{\bra{\psi} \rho \ket{\psi} \ket{\psi} \bra{\psi}} \\ & = \op{Tr} \left(\sqrt{\bra{\psi} \rho \ket{\psi}} \ket{\psi} \bra{\psi}\right) \\ & = \sqrt{\bra{\psi} \rho \ket{\psi}}. \end{align*}\]

所以保真度为 \(\ket{\psi}\) 和 \(\rho\) 的重叠度的平方根.

Theorem(Uhlmann's theorem)

设 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 是量子系统 \(Q\) 的两个量子态，引入 \(R\) 为 \(Q\) 的一个副本，则

\[ F(\rho, \sigma) = \max_{\ket{\psi}, \ket{\varphi}} \lvert \bra{\psi} \ket{\varphi} \rvert, \]

其中最大化遍历 \(\rho\) 在 \(RQ\) 中的所有纯化态 \(\ket{\psi}\) 和 \(\sigma\) 在 \(RQ\) 中的所有纯化态 \(\ket{\varphi}\).

Lemma

设 \(A\) 为任意算子，\(U\) 为酉算子，则

\[ \lvert \op{Tr} (A U) \rvert \leq \op{Tr} \lvert A \rvert, \]

当 \(U = V^\dagger\) 时等号成立，其中 \(A = \lvert A \rvert V\) 是 \(A\) 的极分解.

Proof

等号成立条件是显然正确的. 观察到

\[ \lvert \op{Tr} (A U) \rvert = \lvert \op{Tr} (\lvert A \rvert V U) \rvert = \lvert \op{Tr} (\lvert A \rvert^{1/2} \cdot (\lvert A \rvert^{1/2} V U)) \rvert. \]

依据 Cauchy-Schwarz 不等式，有

\[ \lvert \op{Tr} (A U) \rvert \leq \sqrt{\op{Tr} \lvert A \rvert \cdot \op{Tr} (U^\dagger V^\dagger \lvert A \rvert V U)} = \op{Tr} \lvert A \rvert. \]

Proof

固定系统 \(R\) 和 \(Q\) 的标准正交基 \(\{\ket{i}\}_R\) 和 \(\{\ket{i}\}_Q\). 定义 \(\ket{m} = \sum_i \ket{i}_R \ket{i}_Q\)，\(\ket{\psi}\) 为 \(\rho\) 的任意纯化，依据 Schmidt 分解，可以得到

\[ \ket{\psi} = (U_R \otimes \sqrt{\rho} U_Q) \ket{m}. \]

同理 \(\ket{\varphi}\) 为 \(\sigma\) 的任意纯化，可以得到

\[ \ket{\varphi} = (V_R \otimes \sqrt{\sigma} V_Q) \ket{m}. \]

计算内积有

\[ \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert = \lvert \bra{m} (U_R^\dagger V_R \otimes U_Q^\dagger \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} V_Q) \ket{m} \rvert. \]

exercise

设量子系统 \(R\) 和 \(Q\) 具有相同的 Hilbert 空间，\(\{\ket{i_R}\}\) 和 \(\{\ket{i_Q}\}\) 分别是 \(R\) 和 \(Q\) 的标准正交基，定义 \(\ket{m} = \sum_i \ket{i_R} \ket{i_Q}\)，若 \(A\) 和 \(B\) 分别是系统 \(R\) 和 \(Q\) 的算子，其矩阵表示分别相应于基 \(\{\ket{i_R}\}\) 和 \(\{\ket{i_Q}\}\)，证明：

\[ \op{Tr} (A^\mathrm{T} B) = \bra{m} (A \otimes B) \ket{m}. \]

从而有

\[ \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert = \lvert \op{Tr} (V_R^\mathrm{T} \overline{U_R} U_Q^\dagger \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} V_Q) \rvert. \]

定义 \(U = V_Q V_R^\mathrm{T} \overline{U_R} U_Q^\dagger\)，则有

\[ \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert = \lvert \op{Tr} (\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} U) \rvert. \]

依据引理，得到

\[ \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert \leq \op{Tr} \lvert \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} \rvert = \op{Tr} \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}}. \]

设 \(\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} = \lvert \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} \rvert V\) 是 \(\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma}\) 的极分解，令 \(U_Q = U_R = V_R = I\)，\(V_Q = V^\dagger\)，则等号成立.

Uhlmann 公式在证明保真度的性质时更有优势. 比如很显然地能够得到保真度的对称性，以及 \(0 \leq F(\rho, \sigma) \leq 1\)，第一个等号成立当且仅当 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的支撑空间正交，第二个等号成立当且仅当 \(\rho = \sigma\).

我们已通过测量诱导的概率分布将量子迹距离与经典迹距离关联. 类似地，可证明：

\[ F(\rho, \sigma) = \min_{\{E_m\}} F(\{p_m\}, \{q_m\}), \]

其中最小化遍历所有 POVM \(\{E_m\}\)，\(p_m = \op{Tr} (\rho E_m)\) 和 \(q_m = \op{Tr} (\sigma E_m)\) 分别是量子态 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 下得到结果 \(m\) 的概率.

证明运用极分解 \(\sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}} = \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} U\)，其中 \(U\) 是酉算子，得到

\[\begin{align*} F(\rho, \sigma) & = \op{Tr} \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}} \\ & = \op{Tr} (\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} U) \\ & = \sum_m \op{Tr} (\sqrt{\rho} \sqrt{E_m} \sqrt{E_m} \sqrt{\sigma} U) \\ & \leq \sum_m \sqrt{\op{Tr} (\rho E_m) \op{Tr} (\sigma E_m)} \\ & = F(\{p_m\}, \{q_m\}). \end{align*}\]

从而得到

\[ F(\rho, \sigma) \leq \min_{\{E_m\}} F(\{p_m\}, \{q_m\}). \]

为了证明等号成立需要找到一个 POVM \(\{E_m\}\) 使得 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立，即 \(\sqrt{E_m} \sqrt{\rho} = \alpha_m \sqrt{E_m} \sqrt{\sigma} U\)，其中 \(\alpha_m\) 是复数. 又因为 \(\sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} U = \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}}\)，所以对于可逆的 \(\rho\)，有

\[ \sqrt{\sigma} U = \rho^{-1/2} \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}}. \]

通过代换可以得到取等条件为

\[ \sqrt{E_m} (I - \alpha_m M) = 0, \]

其中 \(M = \rho^{-1/2} \sqrt{\rho^{1/2} \sigma \rho^{1/2}} \rho^{-1/2}\). 若 \(M = \sum_m \beta_m \ket{m} \bra{m}\) 是 \(M\) 的谱分解，那么令 \(E_m = \ket{m} \bra{m}\)，\(\alpha_m = 1/\beta_m\) 即可. \(\rho\) 不可逆的情况可以通过连续性证明.

先前证明了迹距离的三个重要性质：度量性、收缩性和强凸性. 保真度也具有类似的性质，且其证明技术与迹距离的证明截然不同，因此有必要详细探讨这些结果.

保真度本身不是度量，但可通过简单变换转化为度量，核心思想是球面上两点的夹角是度量. 在量子情形下，Uhlmann 定理指出两态的保真度等于其纯化态间最大内积，这边启发我们定义态 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的夹角为

\[ A(\rho, \sigma) = \arccos F(\rho, \sigma). \]

显然其满足对称性，非负性，并且当且仅当 \(\rho = \sigma\) 时等号成立. 接下来只需要证明其满足三角不等式，便能证明其是度量. 设 \(\ket{\varphi}\) 是 \(\sigma\) 的纯化态，并且选择 \(\rho\) 的纯化态 \(\ket{\psi}\) 和 \(\tau\) 的纯化态 \(\ket{\gamma}\) 使得

\[\begin{gather*} F(\rho, \sigma) = \innerproduct{\psi}{\varphi}, \\ F(\sigma, \tau) = \innerproduct{\varphi}{\gamma}, \end{gather*}\]

并且 \(\innerproduct{\psi}{\gamma}\) 是正的. 依据球面上夹角的三角不等式，有

\[ \arccos (\innerproduct{\psi}{\varphi}) \leq A(\rho, \sigma) + A(\sigma, \tau). \]

根据 Uhlmann 定理，\(F(\rho, \tau) \geq \innerproduct{\psi}{\gamma}\)，因此 \(A(\rho, \tau) \leq \arccos (\innerproduct{\psi}{\gamma}) \leq A(\rho, \sigma) + A(\sigma, \tau)\)，从而证明了三角不等式.

定性来看，保真度的行为与迹距离相反. 所以不应该期望保真度具有迹距离的收缩性，而应该是具有某种不减的性质. 这称为保真度的单调性（monotonicity）：

Theorem(Monotonicity of fidelity)

设 \(\mathcal{E}\) 是一个保迹的量子操作，则对任意密度算子 \(\rho\) 和 \(\sigma\)，有

\[ F(\mathcal{E}(\rho), \mathcal{E}(\sigma)) \geq F(\rho, \sigma). \]

Proof

设 \(\ket{\psi}\) 和 \(\ket{\varphi}\) 分别是 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 在系统 \(RQ\) 上的纯化态，并且使得 \(F(\rho, \sigma) = \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert\). 为量子操作 \(\mathcal{E}\) 引入环境系统 \(E\)，初始态为纯态 \(\ket{0}_E\)，并且通过酉相互作用 \(U\) 与量子系统 \(Q\) 耦合. 注意到 \(U \ket{\psi} \ket{0}_E\) 和 \(U \ket{\varphi} \ket{0}_E\) 分别是 \(\mathcal{E}(\rho)\) 和 \(\mathcal{E}(\sigma)\) 的纯化态. 依据 Uhlmann 定理，有

\[\begin{align*} F(\mathcal{E}(\rho), \mathcal{E}(\sigma)) & \geq \lvert \bra{\psi} \bra{0}_E U^\dagger U \ket{\varphi} \ket{0}_E \rvert \\ & = \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert \\ & = F(\rho, \sigma). \end{align*}\]

通过 Uhlmann 定理证明保真度的强凹性，完成对保真度基本性质的讨论.

Theorem(Strong concavity of the fidelity)

设 \(\{p_i\}\) 和 \(\{q_i\}\) 是同一指标集上的概率分布，\(\rho_i\) 和 \(\sigma_i\) 是同一指标集下的密度算子，则

\[ F(\sum_i p_i \rho_i, \sum_i q_i \sigma_i) \geq \sum_i \sqrt{p_i q_i} F(\rho_i, \sigma_i), \]

此结论可用于证明保真度的凹性，因此称为保真度的强凹性. 该性质虽与迹距离的强凸性不完全类比，但思想相似，故采用类似术语.

Proof

设 \(\ket{\psi}_i\) 和 \(\ket{\varphi}_i\) 分别是 \(\rho_i\) 和 \(\sigma_i\) 的纯化态，且满足 \(F(\rho_i, \sigma_i) = \innerproduct{\psi_i}{\varphi_i}\). 引入辅助系统，其标准正交基 \(\ket{i}\) 对应于概率分布的指标集. 定义

\[ \ket{\psi} = \sum_i \sqrt{p_i} \ket{\psi_i} \ket{i} , \quad \ket{\varphi} = \sum_i \sqrt{q_i} \ket{\varphi_i} \ket{i}. \]

所以 \(\ket{\psi}\) 和 \(\ket{\varphi}\) 分别是 \(\sum_i p_i \rho_i\) 和 \(\sum_i q_i \sigma_i\) 的纯化态. 依据 Uhlmann 定理，有

\[\begin{align*} F(\sum_i p_i \rho_i, \sum_i q_i \sigma_i) & \geq \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert \\ & = \sum_i \sqrt{p_i q_i} \innerproduct{\psi_i}{\varphi_i} \\ & = \sum_i \sqrt{p_i q_i} F(\rho_i, \sigma_i). \end{align*}\]

Relationships between distance measures

对于纯态而言，迹距离和保真度是等同的. 考虑两个纯态 \(\ket{a}\) 和 \(\ket{b}\)，利用 Gram-Schmidt 正交化可以得到一组正交基 \(\ket{0}\) 和 \(\ket{1}\)，使得

\[ \ket{a} = \ket{0}, \quad \ket{b} = \cos \theta \ket{0} + \sin \theta \ket{1}, \]

注意 \(F(\ket{a}, \ket{b}) = \lvert \cos \theta \rvert\). 而

\[\begin{align*} D(\ket{a}, \ket{b}) & = \frac{1}{2} \op{Tr} \left\lvert \begin{pmatrix} 1 - \cos^2 \theta & -\cos \theta \sin \theta \\ -\cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta \end{pmatrix} \right\rvert \\ & = \lvert \sin \theta \rvert \\ & = \sqrt{1 - F(\ket{a}, \ket{b})^2}. \end{align*}\]

进而考虑任意两个量子态 \(\rho\) 和 \(\sigma\)，\(\ket{\psi}\) 和 \(\ket{\varphi}\) 分别是 \(\rho\) 和 \(\sigma\) 的纯化态，并且满足

\[ F(\rho, \sigma) = \lvert \innerproduct{\psi}{\varphi} \rvert = F(\ket{\psi}, \ket{\varphi}). \]

因此，如果两个量子态之间的保真度很接近于 1，则它们的迹距离也会很接近. 反之也成立，设 \(\{E_m\}\) 为满足

\[ F(\sigma, \rho) = \sum_m \sqrt{p_m q_m} \]

的 POVM，其中 \(p_m = \op{Tr} (\rho E_m)\) 和 \(q_m = \op{Tr} (\sigma E_m)\). 观察到

\[\begin{align*} \sum_m (\sqrt{p_m} - \sqrt{q_m})^2 & = \sum_m p_m + \sum_m q_m - 2 F(\sigma, \rho) \\ & = 2(1 - F(\sigma, \rho)). \end{align*}\]

而 \(\lvert \sqrt{p_m} - \sqrt{q_m} \rvert \leq \lvert \sqrt{p_m} + \sqrt{q_m} \rvert\)，因此

\[\begin{align*} \sum_m \lvert \sqrt{p_m} - \sqrt{q_m} \rvert^2 & \leq \sum_m \lvert \sqrt{p_m} - \sqrt{q_m} \rvert \lvert \sqrt{p_m} + \sqrt{q_m} \rvert \\ & \leq \sum_m \lvert p_m - q_m \rvert \\ & = 2 D(\{p_m\}, \{q_m\}) \\ & \leq 2 D(\rho, \sigma). \end{align*}\]

因此

\[ 1 - F(\rho, \sigma) \leq D(\rho, \sigma) \leq \sqrt{1 - F(\rho, \sigma)^2}. \]