阿贝尔群 ¶
此讲的研究对象加强为了阿贝尔群，所以我们可以讨论一些普通的群做不到的事情，同时本讲的二元运算也使用 \(+\) 记号。
类似于线性空间，在阿贝尔群上我们也可以做所谓的线性组合(Linear Combination)，以及找到所谓的基(basis)。
定义
线性组合：\(n_1x_1 + n_2x_2 + \cdots + n_kx_k, n_i \in \mathbf{Z}, x_i \in X\). 事实上，在加法运算下由集合 \(X\) 生成的群 \(\langle X \rangle\) 就包含了所有的线性组合 .
基：一个阿贝尔群 \(F\) 的基是满足以下条件的子集 \(X\)：
(i) \(F = \langle X \rangle\);
(ii) 对互异的 \(x_1, x_2, \ldots, x_k \in X\) 以及 \(n_i \in \mathbf{Z}\)，有
基是非常有用的，这点我们在线性代数中就已经意识到了。而注意到循环群 \(\langle x \rangle = \{nx \mid n \in \mathbf{Z}\}\)，所以我们可以进一步探索基存在的条件。
定理
对阿贝尔群 \(F\) 以下条件等价 .
(i) \(F\) 有一组非空的基；
(ii) \(F\) 是一族无限循环子群的直和；
(iii) \(F\) 同构于若干加法群 \(Z\) 的直和；
(iv) 存在非空集合 \(X\) 和函数 \(\iota: X \rightarrow F\)，满足以下性质：给定一阿贝尔群 \(G\) 和一函数 \(f: X \rightarrow G\)，存在唯一的群同态 \(\bar{f}: F \rightarrow G\) 使得 \(\bar{f}\iota = f\). 换言之，\(F\) 在阿贝尔群的范畴内是自由的 .
满足以上条件的阿贝尔群被称为（在集合 \(X\) 上的）自由阿贝尔群(free abelian group). 由定义可知平凡的阿贝尔群 \(0\) 是在 \(\varnothing\) 上的自由阿贝尔群。
同理，也有些与线性空间的基类似的结论。
定理
(i) 同一阿贝尔群 \(F\) 的任意两个基有相同的基数 . 即任一 \(F\) 的基 \(X\) 的基数是 \(F\) 的一个不变量，\(\lvert X \rvert\) 被称为 \(F\) 的秩(rank);
(ii) 设 \(F_1\) 是集合 \(X_1\) 上的自由阿贝尔群，设 \(F_2\) 是集合 \(X_2\) 上的自由阿贝尔群. 那么 \(F_1 \cong F_2\) 等价于二者拥有相同的秩，即 \(\lvert X_1 \rvert = \lvert X_2 \rvert\);
(iii) 每一个阿贝尔群 \(G\) 都是一个秩为 \(\lvert X \rvert\) 的自由阿贝尔群的同态像，其中 \(X\) 是 \(G\) 的生成元的集合.
下面是一些基的生成方法。
定理
(i) 若 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 是一自由阿贝尔群 \(F\) 的基，\(a \in \mathbf{Z}\)，那么对于 \(\forall i \neq j\)，\(\{x_1, \ldots, x_{j-1}, x_j + ax_i, x_{j+1}, \ldots, x_n\}\) 也是 \(F\) 的一组基 .
(ii) 如果 \(F\) 是一个自由阿贝尔群，其秩为一有限数 \(n\)，\(G\) 是 \(F\) 的一个非零子群，那么存在 \(F\) 的一组基 \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)，整数 \(r, 1 \leqslant r \leqslant n\)，以及正整数 \(d_1, d_2, \ldots, d_r\) 使得 \(d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r\) 并且 \(G\) 是以 \(d_1x_1, d_2x_2, \ldots, d_rx_r\) 为基的自由阿贝尔群.
(ii) 其实揭示了一个相当重要的结论，即自由的结构的子结构依然是自由的。
证明
(ii) 若 \(n = 1\)，则 \(F = \langle x_1 \rangle \cong \mathrm{Z}\)，且 \(G = \langle d_1x_1 \rangle \cong \mathrm{Z}, d_1 \in N^*\). 然后采用归纳法 .
假设结论对所有秩小于 \(n\) 的自由阿贝尔群均成立，则设集合 \(S\) 表示满足以下条件的整数 \(s\)：存在 \(F\) 的一组基 \(\{y_1, \ldots, y_n\}\)，且 \(sy_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n \in G, k_i \in \mathrm{Z}\). 注意到 \(\{y_2, y_1, y_3, \ldots, y_n\}\) 也是 \(F\) 的一组基，所以 \(k_2 \in S\). 同理对 \(j = 3, 4, \ldots n, k_j \in S\). 因为 \(G \neq 0\)，所以 \(S \neq \varnothing\)，从而 \(S\) 中存在最小正整数 \(d_1\)，并且对 \(F\) 的某一组基 \(\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)，存在 \(v \in G\)，使得 \(v = d_1y_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n\). 利用带余除法，可以得到，对于 \(i = 2, 3, \ldots, n\)，均有 \(k_i = d_1q_i + r_i\)，所以 \(v = d_1(y_1 + q_2y_2 + \cdots + q_ny_n) + r_2y_2 + r_3y_3 + \cdots + r_ny_n\)，令 \(x = y_1 + q_2y_2 + \cdots + q_ny_n\)，由 (i) 可知 \(W = \{x, y_2, \ldots, y_n\}\) 是 \(F\) 的一组基. 而 \(v \in G\)，\(r_i < d_1\)，且将 \(W\) 中的元素以任意顺序重新排列均是 \(F\) 的基，故 \(r_i \in S, i = 2, 3 \ldots, n\). 考虑到 \(d_1\) 是 \(S\) 中的最小正整数，有 \(r_i = 0, i = 2, 3, \ldots, n\). 所以 \(v = d_1x_1 \in G\).
设 \(H = \langle y_2, \ldots, y_n \rangle\)，则 \(H\) 是秩为 \(n-1\) 的自由阿贝尔群，且 \(F = \langle x_1 \rangle \oplus H\)，我们进一步证明 \(G = \langle v \rangle \oplus (G \cap H)\). 因为 \(\{x_1, y_2, \ldots, y_n\}\) 是 \(F\) 的一组基，故 \(\langle v \rangle \cap (G \cap H) = 0\). 设 \(u = t_1x_1 + t_2y_2 + \cdots + t_ny_n \in G, t_i \in \mathrm{Z}\)，带余除法有 \(t_1 = d_1q_1 + r_1\)，所以 \(u - q_1v = r_1x + t_2y_2 + \cdots + t_ny_n \in G\). 而 \(d_1\) 是 \(S\) 中的最小正整数，有 \(r_1 = 0\). 所以 \(t_2y_2 + \cdots + t_ny_n \in G \cap H\) 且 \(u = q_1v + (t_2y_2 + \cdots + t_ny_n)\)，\(G = \langle v \rangle + (G \cap H)\). 也就有 \(G = \langle v \rangle \oplus (G \cap H)\).
若 \(G \cap H = 0\)，则 \(G = \langle d_1x_1 \rangle\)，从而定理成立. 否则有 \(C \cap H \neq 0\)，由归纳假设，存在 \(H\) 的一组基 \(\{x_2, x_3, \ldots, x_n\}\) 和正整数 \(r, d_2, \ldots, d_r\)，使得 \(d_2 \mid d_3 \mid \cdots \mid d_r\)，且 \(G \cap H\) 是以 \(\{d_2x_2, \ldots, d_nx_n\}\) 为基的自由阿贝尔群. 由于 \(F = \langle x_1 \rangle \oplus H\) 且 \(G = \langle v \rangle \oplus (G \cap H)\)，完成归纳仅需要再证明 \(d_1 \mid d_2\). 由带余除法，\(d_2 = qd_1 + r_0\). 由 (i) 有 \(\{x_2, x_1 + qx_2, x_3, \ldots, x_n\}\) 是 \(F\) 的一组基，而 \(r_0x_2 + d_1(x_1+qx_2) = d_1x_1 + d_2x_2 \in G\)，所以 \(r_0 \in S\)，而 \(d_1\) 是 \(S\) 中的最小正整数，所以有 \(r_0 = 0\)，即 \(d_1 \mid d_2\).
推论
如果 \(G\) 是由 \(n\) 个元素有限生成的阿贝尔群，那么 \(G\) 的每个子群 \(H\) 都是可由 \(m\) 个元素生成，其中 \(m \leqslant n\).
我们接下来开始研究有限生成的阿贝尔群。
定理
(i) 任一有限生成的阿贝尔群 \(G\) 都是（同构于）一些循环群的有限直和，并且这些循环群中如果有一些是有限的，总可以使它们的阶为 \(m_1, \ldots, m_t\)，满足 \(m_1 > 1\) 且 \(m_1 \mid m_2 \mid \cdots \mid m_t\);
(ii) 任一有限生成阿贝尔群 \(G\) 都是（同构于）循环群的有限直和，这些循环群要么是无限的，要么阶是一个素数.
引理
若 \(m\) 是一正整数，并且可被素分解为以下形式：\(m = p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_t^{n_t}, p_1, p_2, \ldots, p_t\) 是互异素数，且 \(n_i > 0\)，则有 \(Z_m \cong Z_{p_1^{n_1}} \oplus Z_{p_2^{n_2}} \oplus \cdots \oplus Z_{p_t^{n_t}}\)
推论
若 \(G\) 是一有限生成的阿贝尔群，阶为 \(n\) ，那么对于任意 \(m \mid n\)，\(G\) 都有阶为 \(m\) 的子群 .
引理
设 \(G\) 是一阿贝尔群，\(m\) 是一整数且 \(p\) 是一素数，那么以下集合均为 \(G\) 的子群：
(i) \(mG = \{mu \mid u \in G\}\);
(ii) \(G[m] = \{u \in G \mid mu = 0\}\);
(iii) \(G(p) = \{u \in G \mid \lvert u \rvert = p^n, \exists n \geqslant 0\}\);
(iv) \(G_t = \{u \in G \mid \lvert u \rvert \in \mathbf{Z}\}\).
特别地，存在着以下的一些同构：
(v) \(Z_{p^n}[p] \cong Z_p(n \leqslant 1), p^mZ_{p_n} \cong Z_{p^{n-m}}(m < n)\).
设 \(H\) 和 \(G_i(i \in I)\) 都是阿贝尔群，则：
(vi) 若 \(g: G \rightarrow \sum_{i \in I} G_i\) 是一同构，则 \(g\) 在 \(mG\) 和 \(G[m]\) 上的限制分别是同构 \(mG \cong \sum_{i \in I} mG_i, G[m] \cong \sum_{i \in I} G_i[m]\).
(vii) 若 \(f: G \rightarrow H\) 是同构，则 \(f\) 在 \(G_t\) 和 \(G_p\) 上的限制分别是同构 \(G_t \cong H_t, G(p) \cong H(p)\).
若 \(G\) 是阿贝尔群，则 \(G_t\) 被称为 \(G\) 的扭子群(torsion subgroup)，若 \(G_t = G\)，则群 \(G\) 叫做扭群(torsion group)，若 \(G_t = 0\)，则称 \(G\) 是无扭的(torsion-free).
下面便是本节最重要的定理。
\(\star\) 定理
（有限生成阿贝尔群结构定理）设 \(G\) 是有限生成阿贝尔群，则
(i) 存在唯一的非负整数 \(s\)，使得将 \(G\) 任意分解为循环群直和时，其无限循环群直和部分的个数恰好为是 \(s\).
(ii) 要么 \(G\) 是自由阿贝尔群，要么存在唯一的一组（不必互异）正整数 \(m_1, \ldots, m_t\)，使得 \(m_1 > 1\)，\(m_1 \mid m_2 \mid \cdots \mid m_t\)，并且
其中 \(F\) 是自由阿贝尔群 .
(iii) 要么 \(G\) 是自由阿贝尔群，要么存在一组正整数 \(p_1^{s_1}, \ldots, p_k^{s^k}\)，其不计次序意义下是唯一的，使得 \(p_1, \ldots, p_k\) 是素数（不必互异），\(s_1, \ldots, s_k\) 是正整数（不必互异），并且
其中 \(F\) 是自由阿贝尔群 .
若 \(G\) 是有限生成阿贝尔群，则 (ii) 中唯一决定的整数 \(m_1, \ldots, m_t\) 被称为 \(G\) 的不变因子(invariant factors)，(iii) 中唯一决定的素数幂被称为 \(G\) 的初等因子(elementary divisors)。
示例
(i) 全体 \(1500\) 阶的有限阿贝尔群可由下述方法完全决定（不计同构）. 有限群 \(G\) 的初等因子之积为 \(\lvert G \rvert\)，而 \(1500 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3\)，所以初等因子只有以下六种可能：\(\{2, 2, 3, 5^3\},\) \(\{2, 2, 3, 5, 5^2\},\) \(\{2, 2, 3, 5, 5, 5\},\) \(\{2^2, 3, 5^3\},\) \(\{2^2, 3, 5, 5^2\},\) \(\{2^2, 3, 5, 5, 5\}.\) 这六种初等因子每组决定了一个 \(1500\) 阶的阿贝尔群 .
(ii) 如果 \(G = Z_5 \oplus Z_{15} \oplus Z_{25} \oplus Z_{36} \oplus Z_{54}\). 则 \(G \cong Z_5 \oplus (Z_{3} \oplus Z_{5}) \oplus Z_{25} \oplus (Z_{4} \oplus Z_{9}) \oplus (Z_{2} \oplus Z_{27})\). 从而 \(G\) 的初等因子是 \(2, 2^2, 3, 3^2, 3^3, 5, 5, 5^2\)，其可排列为
所以 \(G\) 的不变因子是 \(2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 15, 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 90, 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2700\)，因此 \(G \cong Z_{15} \oplus Z_{90} \oplus Z_{2700}\).