Preliminaries

Quantum data

对于 \(n\) 个量子比特的系统，其状态可以表示为如下形式

\[ \ket{\psi} = \sum_{x \in \{0,1\}^n} a_x \ket{x}, \]

其中 \(a_x \in \mathbb{C}\)，并且满足归一化条件 \(\sum_x \lvert a_x \rvert^2 = 1\). 基态 \(\ket{x}\) 被称作计算基（Computational basis）.

更抽象地，考虑群 \(G\)，基态 \(\ket{g}\) 对应群元素 \(g \in G\)，则群上的任意量子态可以表示为

\[ \ket{\phi} = \sum_{g \in G} b_g \ket{g}. \]

Quantum circuits

对量子态的操作需要保持归一化，酉算子（unitary operator）是最常用的操作. 酉算子 \(U\) 满足 \(U^\dagger U = U U^\dagger = I\).

为了高效计算，酉算子都是由量子电路实现的.

Universal gate sets

任何 \(n\) 量子比特的酉算子都可以由 1 量子比特门和 2 量子比特门组合而成. 全部的 1 量子比特门和 2 量子比特门便被称为通用门集（Universal gate set）.

在实际情况下，某些酉算子可能是较为复杂的，这个时候进行一些近似是必要的. 称带有门 \(U_1, U_2, \ldots, U_t\) 的量子电路为 \(U\) 的 \(\epsilon\)-近似，如果

\[ \lVert U - U_t U_{t-1} \cdots U_1 \rVert \leq \epsilon, \]

\(\lVert \cdot \rVert\) 是算子范数，当 \(\lVert U - V \rVert\) 很小时， \(U\) 和 \(V\) 应当难以区分. 一个自然的选择是谱范数

\[ \lVert A \rVert := \max_\ket{\psi} \frac{\lVert A \ket{\psi} \rVert}{\lVert \ket{\psi} \rVert}. \]

其中 \(\lVert \ket{\psi} \rVert := \sqrt{\innerproduct{\psi}{\psi}}\) 是 2-范数. 谱范数实际上就是 \(A\) 的最大奇异值.

\(\{H, T, C \}\) 是一个通用门集，其中

\[ H := \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad T := \begin{pmatrix} e^{\i \pi/8} & 0 \\ 0 & e^{-\i \pi/8} \end{pmatrix}, \quad C := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]