幂零群和可解群 正规列和次正规列 ¶
首先是升中心列(ascending central series) 的构造。
定义
设 \(G\) 是一群，其中心 \(C(G)\) 是 \(G\) 的正规子群 . 设 \(C_2(G)\) 是 \(C(G/C(G))\) 在典范满射下的原像，那么 \(C_2(G)\) 也是 \(G\) 的正规子群，且包含 \(C(G)\). 那么照此进行递归定义：\(C_1(G) = C(G)\)，\(C_i(G)\) 是 \(C(G/C_{i-1}(G))\) 在典范满射下的原像 . 那么我们得到了 \(G\) 的一个正规子群列，称为 \(G\) 的升中心列：\(\langle e \rangle < C_1(G) < C_2(G) < \cdots\).
提示
\(C_1(G) = C(G) = \{g \mid ag = ga, \forall a \in G\}\) 考虑 \(G/C_1(G)\)，其中的元素都具有 \(gC_1(G)\) 的形式，而且 \(C(G/G_1(C))\) 中的元素满足如下性质：\(\forall a \in G, gC_1(G) \in C(G/C_1(G))\)，则 \((aC_1(G))(gC_1(G)) = agC_1(G) = (gC_1(G))(aC_1(G)) = gaC_1(G)\). 所以 \(C_2(G) = \{g \mid (aC_1(G))(gC_1(G)) = (gC_1(G))(aC_1(G)), \forall a \in G\}\). 进而有 \(C_{i+1}(G) = \{g \mid (aC_{i}(G))(gC_{i}(G)) = (gC_{i}(G))(aC_{i}(G)), \forall a \in G\}\).
由此导出幂零群(nilpotent group) 的定义。
定义
若 \(\exists n\) 使得 \(C_n(G) = G\)，则群 \(G\) 是幂零群 .
定理
(i) 所有有限 \(p\)- 群都是幂零的 .
(ii) 有限个幂零群的直积依然是幂零的.
证明
(i) \(G\) 和它的所有非平凡商群都是 \(p\)- 群，所以它们都有非平凡的中心，也就是说若 \(G \neq C_i(G)\)，则 \(C_i(G)\) 严格包含在 \(C_{i+1}(G)\) 中 . 因为 \(G\) 是有限群，所以必然存在 \(n\)，使得 \(C_n(G) = G\).
引理
若 \(H\) 是幂零群 \(G\) 的一个真子群，则 \(H\) 是 \(N_G(H)\) 的真子群 .
定理
一个有限群是幂零的等价于它是自身 Sylow 子群的直积 .
证明
\((\Leftarrow)\) 由所有有限 \(p\)- 群都是幂零的和有限个幂零群的直积依然是幂零的可知 .
\((\Rightarrow)\) 设 \(G\) 是一个有限幂零群，\(P\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群. 要么 \(P = G\)，此时证毕，要么 \(P\) 是 \(G\) 的真子群. 对于后者，由引理有 \(P\) 是 \(N_G(P)\) 的真子群. 而因为 \(N_G(N_G(P)) = N_G(P)\)，所以 \(N_G(P)\) 不是 \(G\) 的一个真子群，也就是说 \(N_G(P) = G\). 所以 \(P\) 是 \(G\) 的正规子群，也就是 \(G\) 中唯一的 Sylow \(p\)-子群.
对 \(G\) 的阶进行唯一素分解，即 \(\lvert G \rvert = p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}\). 令 \(P_i\) 是 \(G\) 对应的 Sylow \(p_i\)-子群. \(\lvert P_i \rvert = p_i^{n_i}\)，且有 \(P_i \cap P_j = \langle e \rangle, i \neq j\). 回忆之前关于正规子群性质的介绍，若 \(N, K\) 都是正规子群，则有 \(NK = KN\). 所以对于 \(x \in P_i, y \in P_j(i \neq j)\)，有 \(xy = yx\). 从而 \(P_1P_2 \cdots P_{i-1} P_{i+1} \cdots P_k\) 是 \(G\) 的子群，且其中元素的阶都整除 \(p_1^{n_1} \cdots p_{i-1}^{n_{i-1}} p_{i+1}^{n_{i+1}} \cdots p_k^{n_k}\). 从而 \(P_i \cap P_1P_2 \cdots P_{i-1} P_{i+1} \cdots P_k = \langle e \rangle\)，且 \(P_1P_2 \cdots P_{k} = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_k\). 而 \(\lvert G \rvert = p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k} = \lvert P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_k \rvert = \lvert P_1 \cdots P_k \rvert\). 所以 \(G = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_k\).
推论
若 \(G\) 是一个有限幂零群，且 \(m\) 整除 \(\lvert G \rvert\)，则 \(G\) 有一个阶为 \(m\) 的子群 .
定义
设 \(G\) 是一群 . \(G\) 的由集合 \(\{aba^{-1}b^{-1} \mid a, b \in G\}\) 生成的子群称为 \(G\) 的交换子群(commutator subgroup)，记作 \(G'\). 元素 \(aba^{-1}b^{-1}\) 被称为交换子(commutators).
交换子群实际上衡量了原群 \(G\) 与阿贝尔群的差距。
定理
设 \(G\) 是一群，则 \(G'\) 是 \(G\) 的正规子群，且 \(G/G'\) 是阿贝尔群 . 若 \(N\) 是正规子群，则 \(G/N\) 可交换等价于 \(N\) 包含 \(G'\).
证明
考虑 \(f: G \rightarrow G\) 是任一自同构，则有 \(f(aba^{-1}b^{-1}) = f(a)f(b)f(a)^{-1}f(b) \in G'\). 从而 \(f(G') < G'\). 特别地，若 \(f\) 是由 \(a \in G\) 共轭作用给出的自同构，则 \(aG'a^{-1} = f(G') < G'\)，所以 \(G'\) 是 \(G\) 的正规子群 .
因为 \(ab(ba)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} \in G'\)，所以 \(abG' = baG'\)，即 \(G/G'\) 是阿贝尔群.
如果 \(G/N\) 是阿贝尔群，则 \(\forall a, b \in G, abN = baN\)，也就有 \(ab(ba)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} \in N\)，即 \(N\) 包含全部换位子，从而 \(G' < N\). 反方向是平凡的.
定义
设 \(G\) 是一群，\(G^{(1)}\) 定义为 \(G'\)，继续递归定义：\(G^{(i)}\) 为 \((G^{(i-1)})'\)，\(G^{(i)}\) 被称为 \(G\) 的 \(i\) 阶导群(derived subgroup)，其生成了一个降序列：\(G > G^{(1)} > G^{(2)} > \cdots\). 且任意导群都是 \(G\) 的正规子群 .
定义
群 \(G\) 被称为可解的(solvable)，若存在 \(n\) 使得 \(G^{(n)} = \langle e \rangle\).
定理
所有幂零群都是可解群 .
证明
考虑 \(C_i(G)\) 的定义，\(C_i(G) = \{g \mid (aC_{i-1}(G))(gC_{i-1}(G)) = (gC_{i-1}(G))(aC_{i-1}(G)), \forall a \in G\}\)，从而 \(C_{i}(G)/C_{i-1}(G) = C(G/C_{i-1}(G))\) 是阿贝尔群，由上一定理可知 \(C_{i}(G)' < C_{i-1}(G), \forall i > 1\)，且 \(C_1(G) = C(G)\) 是阿贝尔群，其导群为 \(\langle e \rangle\). 因为 \(G\) 是幂零群，所以存在 \(n \in N\)，使得 \(G = C_n(G)\). 从而，\(C(G/C_{n-1}(G)) = C_n(G)/C_{n-1}(G) = G/C_{n-1}(G)\) 是阿贝尔群，所以有 \(G^{(1)} = G' < C_{n-1}(G)\). 考虑子群的导群是原群导群的子群，所以 \(G^{(2)} = {G^{(1)}}' < C_{n-1}(G)' < C_{n-2}(G)\)，\(G^{(3)} < C_{n-2}(G)' < C_{n-3}(G)\)，以此类推，\(G^{(n)} < C_1(G) = C(G) = \langle e \rangle\)，所以 \(G^{(n)} = \langle e \rangle\).
定理
(i) 可解群的子群和同态像也是可解的 .
(ii) 若 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，且 \(N\) 和 \(G/N\) 均是可解的，则 \(G\) 是可解的.
推论
若 \(n \geqslant 5\)，则对称群 \(S_n\) 不可解 .
提示
考虑交错群 \(A_n\)，\(n \geqslant 5\) 时其是单群 .
在定义幂零群和可解群的时候我们利用了正规列，下面我们来研究它们。
定义
(i) 群 \(G\) 的次正规列(subnormal series) 是一串满足 \(G_{i+1}\) 在 \(G_i\) 中正规的子群：\(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n, 0 \leqslant i < n\). 列的因子(factor) 是商群 \(G_i/G_{i+1}\)，列的长度(length) 是其非平凡因子的个数 . 若 \(G_i\) 均是 \(G\) 的正规子群，则此列称为正规列(normal series).
(ii) 设 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n\) 是一次正规列，则形如 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_i > N > G_{i+1} > \cdots > G_n\) 或 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n > N\) 的列称为 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n\) 的 一步加细(one-step refinement)，其中 \(N\) 是 \(G_i\) 的正规子群且 \(G_{i+1} 是 N\) 的正规子群 . 次正规列 \(S\) 通过有限次一步加细得到的任一次正规列，都称作 \(S\) 的细化(refinement). 若 \(S\) 的一个细化的长度大于 \(S\) 的长度，则称其为 \(S\) 的真细化(proper refinement).
(iii) 次正规列 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n = \langle e \rangle\) 被称为合成列(composition series)，若其因子 \(G_i/G_{i+1}\) 都是单群；若 \(G_i/G_{i+1}\) 都是阿贝尔群，则称其为可解列(solvable series).
定理
(i) (a) 每个有限群 \(G\) 均有合成列；
(b) 可解列的任一细化仍是可解列；
(c) 一个次正规列是合成列当且仅当它没有真细化.
(ii) 群 \(G\) 是可解的等价于 \(G\) 有可解列.
(iii) 有限群 \(G\) 是可解的等价于 \(G\) 有合成列，且其因子都是素阶循环群.
定义
群 \(G\) 的两个次正规列 \(S\) 和 \(T\) 被称作等价的(equivalent)，若它们的非平凡因子之间存在一一对应，使得相应的因子同构 .
显然，如果 \(S\) 是群 \(G\) 的合成列，则 \(S\) 的每个加细均与 \(S\) 等价。
定理
(Jordan-Hölder) 群 \(G\) 任意两个合成列都是等价的 . 所以，每个群的合成列都唯一决定了一串单群 .