分式环 局部化 ¶
仿照从整数环构建有理数域的过程，我们也可以从环构建域。在此之前我们需要补充几个定义：
定义
环 \(R\) 的一个非空子集合 \(S\) 被称为乘性子集(multiplicative subset)，若 \(a, b \in S \Rightarrow ab \in S\).
考虑有理数域，\(\forall \alpha \in \mathbf{Q}, \exists a \in \mathbf{Z}, b \in S, \alpha = a/b\). 考虑 \(\beta = c/d\)，就有 \(\alpha = \beta \Leftrightarrow a/b = c/d \Leftrightarrow ad = bc(ad - bc = 0)\). 所以有理数域其实可以通过 \(\mathbf{Z} \times S\) 上的等价关系构建。此关系定义为：
\(\mathbf{Q}\) 就被定义为此等价关系下所有等价类的集合。元素 \((a, b)\) 的等价类记为 \(a/b\) 且按照正常的数的加法和乘法定义，进而可验证这些运算都是良定义的，且 \(\mathbf{Q}\) 是一个域。映射 \(\varphi: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Q}\)，定义为 \(a \mapsto a/1\)，显然是一个单同态，将 \(\mathbf{Z}\) 嵌入了 \(\mathbf{Q}\)。
考虑仿照这种定义方式，我们将其运用在任意交换环 \(R\) 的任意乘性子集 \(S\) 上，最终目标是构建一个记号为 \(S^{-1}R\) 的含幺交换环和群同态 \(\varphi_S: R \rightarrow S^{-1}R\)。且 \(R\) 是整环的话，\(S^{-1}R\) 就会成为一个域，且 \(\varphi_S\) 将 \(R\) 嵌入 \(S^{-1}R\)。
第一件事是拓展等价关系。
定义
设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的一个乘性子集。在 \(R \times S\) 上定义如下关系：
是一个等价关系。进一步，若 \(R\) 没有零因子，且 \(0 \not \in S\)，此等价关系可增强为
通过此等价关系，我们可以将 \((r, s) \in R \times S\) 所在的等价类记作 \(r/s\). \(R \times S\) 在关系 ~ 下的所有等价类构成的集合即记作 \(S^{-1}R\)，其满足以下三条性质：
性质
(i) \(r/s = r'/s' \Leftrightarrow s_1(rs' - r's) = 0, \ \textrm{for some} \ s_1 \in S\);
(ii) \(tr/ts = r/s, \forall r \in R, s, t \in S\);
(iii) 若 \(0 \in S\)，则 \(S^{-1}R\) 只含有一个等价类.
进而有以下定理：
定理
设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘性子集，\(S^{-1}R\) 是如上定义的等价类集合，则
(i) \(S^{-1}R\) 是含幺交换环，加法和乘法按照如下定义：
(ii) 若 \(R\) 不是零环，且没有零因子，且 \(0 \not \in S\)，则 \(S^{-1}R\) 是整环 .
(iii) 若 \(R\) 不是零环，且没有零因子，且 \(S\) 是 \(R\) 中全体非零元素构成的集合，则 \(S^{-1}R\) 是域.
所以我们得到 \(S^{-1}R\) 实际上可以构成环，我们称其为分式环(ring of fractions)。而其中的特殊情况便是第 (iii) 条，此时称 \(S^{-1}R\) 为整环 \(R\) 上的分式域(quotient field of the integral domain \(R\))。并且，如果 \(S\) 是 \(R\) 中所有非零因子的元素构成的且 \(S\) 非空，此时 \(S^{-1}R\) 被称为全分式环(complete ring of fractions)。
接下来轮到同态的构建，回忆 \(\varphi: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Q}\), \(n \mapsto n/1\)，显然 \(\varphi\) 是一个满同态，且将 \(\mathbf{Z}\) 嵌入 \(\mathbf{Q}\)。但更进一步我们发现，\(\forall n \neq 0, \varphi(n)\) 都是 \(\mathbf{Q}\) 中的单位，仿照此性质，我们有如下定理：
定理
设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的一个乘性子集，则：
(i) 映射 \(\varphi_S: R \rightarrow S^{-1}R\)，定义为 \(r \mapsto rs/s, \forall s \in S\)，是一良定义的环同态，且任一 \(s \in S\)，\(\varphi_S(s)\) 都是 \(S^{-1}R\) 的一个单位.
(ii) 若 \(0 \not \in S\) 且 \(S\) 不含有零因子，则 \(\varphi_S\) 是一个单同态. 特别地，所有整环都能被嵌入其分式域中.
(iii) 若 \(R\) 是含幺环且 \(S\) 全由单位组成，则 \(\varphi_S\) 是一个环同构. 特别地，所有域 \(F\) 的全分式环（事实上就是分式域）同构于 \(F\).
证明
(i) 若 \(s, s' \in S\)，则 \(rs/s = rs'/s'\)，所以 \(\varphi_S\) 是良定义的 . 又因为 \(S\) 是乘性子集，所以 \(1_R \in S\)，从而 \(\varphi_S(1_R) = 1_R/1_R = 1_{S^{-1}R}\). 又因为 \(S\) 是乘性子集，所以 \(\forall s \in S, \varphi_S(s) = s/1\) 是 \(S^{-1}R\) 的一个单位 . 最后，\(\forall r, r' \in R, s, s' \in S\)，有 \(\varphi_S(r+r') = (r+r')/1 = r/1 + r'/1 = \varphi_S(r) + \varphi_S(r')\)，\(\varphi_S(rr') = (rr')/1 = (r/1)(r'/1) = \varphi_S(r)\varphi_S(r')\)，故 \(\varphi_S\) 是一环同态 . 注意到 \(\forall s \in S\)，\(s/s^2\) 是 \(s^2/s\) 的乘法逆元 .
下面描述分式环的泛性质：
定理
设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘性子集，\(T\) 是任意含幺交换环 . 若 \(f: R \rightarrow T\) 是一环同态，且 \(\forall s \in S, f(s)\) 是 \(T\) 中的单位，则存在唯一的环同态 \(\bar{f}: S^{-1}R \rightarrow T\) 使得 \(\bar{f}\varphi_S = f\). 环 \(S^{-1}R\) 在不计同构的情况下完全由此性质决定 .
也就是说下图是交换的：
推论
设 \(R\) 是一整环，并且将其视作其分式域 \(F\) 的子环 . 若 \(E\) 为一域，且 \(f: R \rightarrow E\) 是一环单态，则存在唯一的域单态 \(\bar{f}: F \rightarrow E\)，使得 \(\bar{f} \mid R = f\). 特别地，每一个包含 \(R\) 的域 \(E_1\) 必包含一同构于 \(F\) 的一个子域 \(F_1\)，使得 \(R \subset F_1 \subset E_1\).
下面开始处理分式环的理想问题，但这些定理会隔很长时间才用得到，此处先写下。
定理
设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘性子集，则
(i) 若 \(I\) 是 \(R\) 的一个理想，则 \(S^{-1}I = \{a/s \mid a \in I, s \in S\}\) 是 \(S^{-1}R\) 的一个理想.
(ii) 若 \(J\) 是 \(R\) 的另一个理想，则
\(S^{-1}I\) 被称为理想 \(I\) 在 \(S^{-1}R\) 上的扩展(extension)
定理
设 \(S\) 是含幺交换环 \(R\) 的乘性子集，\(I\) 是 \(R\) 的一个理想，则 \(S^{-1}I = S^{-1}R\) 等价于 \(S \cap I \neq \varnothing\)
证明
若 \(s \in S \cap I\)，则 \(1_{S^{-1}R} = s/s \in S^{-1}I\). 从而 \(S^{-1}I = S^{-1}R\). 反之，若 \(S^{-1}I = S^{-1}R\)，则 \(\varphi_S^{-1}(S^{-1}I) = R\)，从而 \(\varphi_S(1_R) = a/s, a \in I, s \in S\)，而 \(\varphi_S(1_R) = 1_Rs/s\)，所以存在 \(s_1 \in S\)，使得 \(s^2s_1 = ass_1\). 而 \(s^2s_1 \in S, ass_1 \in I\)，所以 \(S \cap I \neq \varnothing\).
引理
设 \(S\) 是含幺交换环的乘性子集，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则
(i) \(I \subset \varphi_S^{-1}(S^{-1}I)\);
(ii) 若 \(I = \varphi_S^{-1}(J)\)，其中 \(J\) 是 \(S^{-1}R\) 的理想，则 \(S^{-1}I = J\). 也就是说，\(S^{-1}R\) 的理想都具有 \(S^{-1}I\) 的形式，其中 \(I\) 是 \(R\) 中的某个理想；
(iii) 如果 \(P\) 是 \(R\) 的素理想，且 \(S \cap P = \varnothing\)，则 \(S^{-1}P\) 是 \(S^{-1}R\) 的素理想，且 \(\varphi_S^{-1}(S^{-1})P = P\).
证明
(i) 若 \(a \in I\)，则对任一 \(s \in S\)，有 \(as \in I\). 从而 \(\varphi_S(a) = as/s \in S^{-1}I\)，也就有 \(a \in \varphi_S^{-1}(S^{-1}I)\). 因此 \(I \subset \varphi_S^{-1}(S^{-1}I)\);
(ii) 因为 \(I = \varphi_S^{-1}(J)\)，\(S^{-1}I\) 中的元素都具有形式 \(r/s\)，其中 \(\varphi_S(r) \in J\)，所以 \(r/s = (1_R/s)(rs/s) = (1_R/s)(rs/s) = (1_R/s)\varphi_S(r) \in J\)，即 \(S^{-1}I \subset J\). 反之，若 \(r/s \in J\)，则 \(\varphi_S(r) = rs/s = (r/s)(s^2/s) \in J\)，从而 \(r \in \varphi_S^{-1}(J) = I\). 所以 \(r/s \in S^{-1}I\)，有 \(J \subset S^{-1}I\);
(iii) 由上可知 \(S^{-1}P\) 是理想，且 \(S^{-1}P \neq S^{-1}R\). 若 \((r/s)(r'/s') \in S^{-1}P\)，则 \(rr'/ss' = a/t\)，其中 \(a \in P, t \in S\). 也就存在 \(s_1 \in S\)，使得 \(s_1trr' = s_1ss'a \in P\). 而 \(s_1t \in S\)，且 \(S \cap P = \varnothing\)，所以 \(rr' \in P\)，进而 \(r \in P\) 或 \(r' \in P\). 因此 \(r/s \in S^{-1}P\) 或 \(r'/s' \in S^{-1}P\)，也就有 \(S^{-1}P\) 是素理想. 最后，由 (i) 可知 \(P \subset \varphi_S^{-1}(S^{-1}P)\). 考虑 \(r \in \varphi_S^{-1}(S^{-1}P)\)，则 \(\varphi_S(r) \in S^{-1}P\)，即有 \(rs/s = a/t\)，\(a \in P, s, t \in S\). 进而存在 \(s_1 \in S\)，使得 \(s_1str = s_1sa \in P\). 而 \(s_1st \in S\) 且 \(S \cap P = \varnothing\)，所以 \(r \in P\)，也就有 \(\varphi_S^{-1}(S^{-1}P) \subset P\).
定理
设 \(S\) 是含幺交换环 \(R\) 的乘性子集，设 \(P\) 是 \(R\) 的素理想，则 \(R\) 的所有满足 \(S \cap P = \varnothing\) 的素理想构成的集合与 \(S^{-1}R\) 的素理想构成的集合之间存在由 \(P \mapsto S^{-1}P\) 给出的一一对应 .
设 \(R\) 是含幺交换环，\(P\) 是 \(R\) 的素理想，可知 \(S = R - P\) 是 \(R\) 的乘性子集，分式环 \(S^{-1}R\) 被称为 \(R\) 在 \(P\) 上的局部化(localization)，记作 \(R_P\). 如果 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(R_P\) 的理想 \(S^{-1}I\) 表示成 \(I_P\).