多项式环 形式幂级数 ¶
定义
设 \(R\) 是环，记号 \(R[x]\) 表示集合 \(\{(a_0, a_1, \ldots, ) \mid a_i \in R, i \in I\}\)，对其中有限数目的 \(i\) 满足 \(a_i \neq 0\)，其余均为 0. 则
(i) \(R[x]\) 在如下定义的加法和乘法下构成环：
其中
(ii) \(R[x]\) 保留环 \(R\) 的如下性质：交换，含幺，无零因子，整环 .
(iii) 映射 \(\varphi: R \rightarrow R[x]\)，\(r \mapsto (r, 0, 0, \ldots)\) 是一环单态.
环 \(R[x]\) 被称为环 \(R\) 上的多项式环(ring of polynomials)，其中的元素被称为多项式(polynomials)。上述定义中第三条的 \((r, 0, 0, \ldots)\) 也被简记为 \(r\)，因此有 \(r(a_0, a_1, \ldots) = (ra_0, ra_1, \ldots)\)。我们接下来会继续阐明其性质，使它更像我们所了解的多项式。
定理
设 \(R\) 是含幺环，记 \((0, 1_R, 0, 0, \ldots)\) 为 \(x\)，则有
(i) \(x^n = (0, 0, \ldots, 0, 1_R, 0, \ldots)\)，其中 \(1_R\) 是第 \((n+1)\) 个坐标；
(ii) 若 \(r \in R\)，则对任一 \(n \geqslant 0\)，\(rx^n = x^nr = (0, 0, \ldots, 0, r, 0, \ldots)\)，其中 \(r\) 是第 \((n+1)\) 个坐标；
(iii) 对任一一个 \(R[x]\) 中的非零多项式 \(f\)，存在整数 \(n \in N\)，\(a_0, a_1, \ldots, a_n \in R\)，使得 \(f = a_0x^0 + a_1x^1 + \cdots + a_nx^n\)，且 \(n, a_0, a_1, \ldots, a_n\) 在如下意义下唯一：若 \(f = b_0x^0 + b_1x^1 + \cdots + b_mx^m\), \(b_i \in R\)，且 \(m \geqslant n\)，则当 \(0 \leqslant i \leqslant n\) 时，\(a_i = b_i\)，而当 \(n < i \leqslant m\) 时，\(b_i = 0\).
若 \(R\) 是含幺环，则 \(x^0 = 1_R\)；若 \(R\) 不是含幺环，我们知道 \(R\) 可以被嵌入含幺环 \(S\) 中，此时 \(x^0 = 1_S\)。所以我们可以将 \(R[x]\) 中的任一多项式 \(f\) 记作 \(f = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\)，并且用更熟悉的记号表示多项式的加法和乘法：
\(a_i\) 被称作多项式 \(f\) 的系数(coefficients)，\(a_0\) 被称作常数项(constant term)。\(R\) 中的元素 \(r\) 都具有 \(r = (r, 0, 0, \ldots) = rx^0\) 的形式，称作常数多项式(constant polynomials)。若 \(f = \sum_{i = 0}^n a_ix^i = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n, a_n \neq 0\)，则称 \(a_n\) 为 \(f\) 的首项系数(leading coefficient)，若 \(R\) 含幺且 \(f\) 的首项系数为 \(1_R\)，则 \(f\) 被称为首一多项式(monic polynomial)。
元素 \(x\) 被称为未定元(indeterminate)。以上的多项式都是关于未定元 \(x\) 的多项式，下面我们来讨论有多个未定元的多项式。方便起见，我们的讨论都是在未定元个数有限的情况下进行的。
定义
设 \(R\) 是环，记 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 是所有满足如下性质的函数的集合：\(f: N^n \rightarrow R\)，只有有限个元素 \(u \in N^n\) 使得 \(f(u) \neq 0\)，则
(i) \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 在如下的加法和乘法下构成环：
其中 \(f, g \in R[x_1, \ldots, x_n], u \in N^n\).
(ii) \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 保留环 \(R\) 的如下性质：交换，含幺，无零因子，整环 .
(iii) 映射 \(\varphi: R \rightarrow R[x_1, \ldots, x_n]\)，\(r \mapsto f_r\)，其中 \(f_r(0, \ldots, 0) = r\)，\(f(u) = 0, u \in N^n, u \neq (0, \ldots, 0)\). \(\varphi\) 是一环单态 .
环 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 被称为 \(R\) 上的 \(n\)（个未定）元多项式环(ring of polynomials in \(n\) indeterminates)。取定 \(N^n\) 的自然基 \(\varepsilon\)：\(\varepsilon_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0), i \in \{1, 2, \ldots, n\}\)，其中 1 是 \(\varepsilon_i\) 的第 \(i\) 个坐标，我们利用这组基来化简 \(n\) 元多项式环的表示。
定理
设 \(R\) 是一含幺环，\(n\) 是一正整数，对 \(i = 1, 2, \ldots, n\)，\(x_i\) 是 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 中按如下式子定义的元素：\(x_i(\varepsilon_i) = 1_R\)，\(x_i(\varepsilon_i) = 0\)，则：
(i) 对任意整数 \(k \in N\)，\(x_i^k(k\varepsilon_i) = 1_R, x_i^k(u) = 0, u \neq k\varepsilon_i\).
(ii) 任一 \((k_1, \ldots, k_n) \in N^n\)，\(x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}(k_1\varepsilon_1 + \cdots + k_n \varepsilon_n) = 1_R,x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}(u) = 0, u \neq k_1\varepsilon_1 + \cdots + k_n \varepsilon_n\).
(iii) \(\forall s, t \in N, i, j = 1, 2, \ldots, n\), \(x_i^sx_j^t = x_j^tx_i^s\).
(iv) \(\forall r \in R, t \in N\), \(x_i^tr = rx_i^t\).
(v) 对 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 中任意的非零多项式 \(f\)，均存在由 \((k_1, \ldots, k_n) \in N^n\) 标记的 \(a_{k_1, \ldots, k_n} \in R\)，且至多有限项非零，使得
提示
注意这里的 \(x_i^{k_i}\) 就是乘积，而 \(x_i^{k_i}(k_i \varepsilon_i) = 1_R\) 是可以依靠 \(x_i(\varepsilon_i) = 1_R\)，\(x_i(u) = 0\) 以及定义的乘法法则得到的，\(x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}(k_1\varepsilon_1 + \cdots + k_n \varepsilon_n) = 1_R\) 同理 .
形如 \(ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}\) 的式子被称为单项式(monomial)。对于 \(\{1, 2, \ldots, n\}\) 的任意子集 \(\{i_1, i_2, \ldots, i_k\}\)，都存在环单态 \(R[x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}] \rightarrow R[x_1, \ldots, x_n]\)，所以考虑 \(R[x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}]\) 时，通常考虑其同构像，并视作 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 的子环。
设 \(\varphi: R \rightarrow S\) 是环同态，\(f \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，而 \(s_1, s_2, \ldots, s_n \in S\)。由以上定理，我们可以将 \(f\) 表作 \(f = \sum_{i = 0}^m x_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}}, a_i \in R, k_{ij} \in N\)。去除掉指数为 \(0\) 的全部 \(x_i\)，我们定义 \(\varphi f(s_1, \ldots, s_n) = \sum_{i = 0}^m \varphi(a_i) s_1^{k_{i1}} \cdots s_n^{k_{in}} \in S\). 因为 \(a_i\) 和 \(k_{ij}\) 是唯一确定的，所以 \(\varphi f(s_1, \ldots, s_n)\) 是良定义的。如果 \(\varphi\) 是包含映射，那么我们依然使用 \(f(s_1, \ldots, s_n)\) 表示 \(\varphi f(s_1, \ldots, s_n)\).
如同其他代数结构，多项式环也可以用泛性质刻画，其泛性质如下：
定理
设 \(R\) 和 \(S\) 是含幺交换环，且环同态 \(\varphi: R \rightarrow S\) 满足 \(\varphi(1_R) = 1_S\). 若 \(s_1, s_2, \ldots s_n \in S\)，则存在唯一的环同态 \(\bar{\varphi}: R[x_1, \ldots, x_n] \rightarrow S\) 使得 \(\bar{\varphi} \mid R = \varphi\)，且 \(\bar{\varphi}(x_i) = s_i, i = 1, 2, \ldots, n\). 这个性质在不计同构的情况下完全确定了多项式环 .
推论
(i) 若 \(\varphi : R \rightarrow S\) 是交换环的同态，\(s_1, s_2, \ldots, s_n \in S\)，则映射 \(\psi : R[x_1, \ldots, x_n] \rightarrow S\)，\(f \mapsto \varphi f(s_1, \ldots, s_n)\) 是环同态 .
(ii) 设 \(R\) 是含幺交换环，\(n\) 是正整数，则对于每个 \(k(1 \leqslant k \leqslant n)\)，均存在环同构 \(R[x_1, \ldots, x_k][x_{k+1}, \ldots, x_n] \cong R[x_1, \ldots, x_n] \cong R[x_{k+1}, \ldots, x_n][x_1, \ldots, x_k]\).
注意
\(\varphi\) 是交换环同态的要求必不可少 .
最后简单介绍一下形式幂级数环(rings of formal power series)。
定义
设 \(R\) 是环，以 \(R[[x]]\) 表示全体 \(R\) 中元素序列 \((a_0, a_1, \ldots)\) 所组成的集合，则
(i) \(R[[x]]\) 对于如下定义的加法和乘法构成环:
(ii) 多项式环 \(R[x]\) 是 \(R[[x]]\) 的子环 .
(iii) \(R[[x]]\) 保留环 \(R\) 的如下性质：交换，含幺，无零因子，整环.
环 \(R[[x]]\) 被称作环 \(R\) 上的形式幂级数环，其元素被称为幂级数(power series)。若 \(R\) 有幺元，则多项式 \(x = (0, 1_R, 0, \ldots) \in R[[x]]\) 便是未定元，不难验证 \(x^ir = rx^i\)。如果 \((a_0, a_1, \ldots) \in R[[x]]\)，则对于每个 \(n\)，\((a_0, a_1, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots)\) 是多项式。所以我们可以将幂级数 \((a_0, a_1, \ldots) \in R[[x]]\) 表示为形式和 \(\sum_{i = 1}^{\infty} a_ix^i\)，元素 \(a_i\) 称作系数，\(a_0\) 称作常数项。同多项式环情形一致，即使 \(R\) 不含幺元，我们也可以使用这一套记号，只是 \(x \not \in R[[x]]\)。
定理
(i) 设 \(R\) 是含幺环，\(f = \sum_{i = 1}^{\infty} a_ix^i \in R[[x]]\). 则
(a) \(f\) 为 \(R[[x]]\) 中单位等价于其常数项 \(a_0\) 是 \(R\) 中单位.
(b) 若 \(a_0\) 在 \(R\) 中不可约，则 \(f\) 在 \(R[[x]]\) 中也不可约.
(ii) 若 \(R\) 是除环，则 \(R[[x]]\) 中元素为单位的充要条件是该元素有非零常数项 . 主理想 \((x)\) 恰好由 \(R[[x]]\) 中所有非单位构成，并且它是 \(R[[x]]\) 中唯一极大理想 . 从而当 \(R\) 是域时，\(R[[x]]\) 是局部环 .