多项式环上的分解 ¶
设 \(R\) 是一环，则非零单项式 \(ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}\) 的次数(degree) 是指非负整数 \(k_1+k_2+\cdots +k_n\)。若 \(f\) 是 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 上的非零多项式，则 \(f = \sum_{i = 0}^n a_i x_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}}\)，其全次数是诸单项式 \(a_i x_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}}(a_i \neq 0)\) 次数的最大值。若 \(f\) 均是由次数为 \(k\) 的单项式组成的，则称 \(f\) 为 \(k\) 次齐次多项式。而考虑到 \(R[x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n]\) 是 \(R[x_1, \ldots, x_n]\) 的子环，将 \(f\) 看作 \(R[x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}, \ldots, x_n]\) 上的一个未定元 \(x_k\) 的多项式时，其次数叫做 \(f\) 对于 \(x_k\) 的次数.
定理
设 \(R\) 是环，\(f, g \in R[x_1, \ldots, x_n]\)，则
(i) \(\operatorname{\mathrm{deg}} (f+g) \leqslant \mathrm{max}(\operatorname{\mathrm{deg}} f, \operatorname{\mathrm{deg}} g)\);
(ii) \(\operatorname{\mathrm{deg}}(fg) \leqslant \operatorname{\mathrm{deg}} f + \operatorname{\mathrm{deg}} g\);
(iii) 若 \(R\) 没有零因子，则 \(\operatorname{\mathrm{deg}} (f+g) = \operatorname{\mathrm{deg}} f + \operatorname{\mathrm{deg}} g\);
(iv) 若 \(n = 1\)，且 \(f\) 或 \(g\) 的首项系数不是 \(R\) 中的零因子时，\(\operatorname{\mathrm{deg}} (fg) = \operatorname{\mathrm{deg}} f + \operatorname{\mathrm{deg}} g\).
定理
（带余除法）设 \(R\) 是一含幺环，\(f, g \in R[x]\) 是非零多项式，且 \(g\) 的首项系数是 \(R\) 中的单位，则存在唯一确定的多项式 \(q, r \in R[x]\) 使得
（余数定理）设 \(R\) 是一含幺环，且有
则对任意的 \(c \in R\)，存在唯一的 \(q(x) \in R[x]\) 使得 \(f(x) = q(x)(x-c)+f(c)\).
推论
若 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是欧几里得整环，从而 \(F[x]\) 是主理想整环和唯一分解整环，\(F[x]\) 中的单位恰是其中全部非零常数 .
定义
设 \(R\) 是交换环 \(S\) 的子环，\(f = \sum_{i=0}^m a_ix_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}} \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 是一多项式，若 \(c_1, \ldots, c_n \in S\) 使得 \(f(c_1, \ldots, c_n) = 0\)，则称 \((c_1, \ldots, c_n)\) 为 \(f\) 的根(root) 或零点(zero)，或者叫多项式方程 \(f(x_1, \ldots, x_n) = 0\) 的一个解(solution).
定理
(i) 设 \(R\) 是含幺交换环，\(f \in R[x]\)，则 \(c \in R\) 是 \(f\) 的根等价于 \(x - c\) 可以整除 \(f\).
(ii) 若 \(D\) 是整环，并且包含在整环 \(E\) 中，而 \(f \in D[x]\) 的次数为 \(n\)，则 \(f\) 在 \(E\) 中至多有 \(n\) 个不同的根.
在唯一分解整环上我们有如下的求解多项式的根的方法。
定理
设 \(D\) 是唯一分解整环，其分式域为 \(F\)，令 \(f = \sum_{i = 0}^n a_ix^i \in D[x]\). 如果 \(u = c/d \in F\)，\(c, d \in D\)，\(c, d\) 互素，且 \(u\) 是 \(f\) 的根，则 \(c \mid a_0\)，同时 \(d \mid a_n\).
示例
设 \(f = x^4 - 2x^3 - 7x^2 - \frac{11}{3}x - \frac{4}{3} \in \mathbb{Q}[x]\)，则 \(f\) 与 \(3f = 3x^4 - 6x^3 - 21x^2 - 11x - 4 \in \mathbb{Z}[x]\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中有相同的根 . 由上可知，\(c \mid a_0 = -4\)，\(d \mid a_n = 3\)，因此 \(3f\) 只可能有如下的有理根 \(u = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}\). 代入验证可知只有 \(u = 4\) 是 \(3f\) 的根，因此 \(f\) 的有理根只可能是 \(u = 4\).
设 \(D\) 为整环，\(f \in D[x]\)。若 \(c \in D\) 是 \(f\) 的根，则重复利用上述定理，可知存在最大整数 \(m(0 \leqslant m \leqslant \operatorname{\mathrm{deg}} f)\)，使得 \(f(x) = (x - c)^mg(x)\)，其中 \(g(x) \in D[x]\) 且 \((x - c) \not \mid g(x)\)，也就是说 \(g(c) \neq 0\)。整数 \(m\) 被称作 \(f\) 的根 \(c\) 的重数(multiplicity of the root c)。如果 \(c\) 的重数为 1，则 \(c\) 被称作单根(simple root)。如果 \(c\) 的重数大于 1，则 \(c\) 被称作重根(multiple root)。下面引入新的运算来决定多项式是否有重根。
定理
设 \(D\) 是整环，\(f = \sum_{i = 1}^n a_ix^i \in D[x]\). 令 \(f' \in D[x]\) 是多项式 \(f' = \sum_{k = 1}^n ka_kx^{k - 1} = a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n - 1}\)，则对所有 \(f, g \in D[x]\) 和 \(c \in D\)，有
(i) \((cf)' = cf'\);
(ii) \((f + g)' = f' + g'\);
(iii) \((fg)' = f'g + fg'\);
(iv) \((g^n)' = ng^{n - 1}g'\).
多项式 \(f'\) 被称为形式微商(formal derivative)。称之为形式是因为其不涉及有关极限的定义。
回忆整环中不可约元的定义，对多项式环而言，若非零多项式 \(f \in R[x]\) 是不可约的(irreducible)，则 \(f\) 不是单位，且对于每个分解式 \(f = gh\)，\(g\) 或 \(h\) 至少有一个是 \(R[x]\) 的单位。
定理
设 \(D\) 是整环，且是整环 \(E\) 的子环，令 \(f \in D[x]\)，\(c \in E\)，则
(i) \(c\) 是 \(f\) 的重根等价于 \(f(c) = 0\) 且 \(f'(c) = 0\)；
(ii) 若 \(D\) 是域且 \(f\) 和 \(f'\) 互素，则 \(f\) 在 \(E\) 中没有重根；
(iii) 若 \(D\) 是域，\(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约，而 \(E\) 包含 \(f\) 的一个根，则 \(f\) 在 \(E\) 中无重根等价于 \(f' \neq 0\).
接下来就要决定多项式环 \(D[x]\)(\(D\) 是整环 ) 中的单位和不可约元了，我们有如下定理作为支撑。
定理
(i) \(D[x]\) 中的单位恰好是常系数多项式，且这些常数必须是 \(D\) 中的单位；
(ii) 若 \(c \in D\) 且 \(c\) 在 \(D\) 中不可约，则常数多项式 \(c\) 在 \(D[x]\) 中也不可约；
(iii) 若一次多项式的首项系数是 \(D\) 中的单位，则其在 \(D[x]\) 中是不可约的，特别地，域上的每个一次多项式都不可约；
(iv) 假设 \(D\) 是整环 \(E\) 的子环并且 \(f \in D[x] \subset E[x]\) 则 \(f\) 可能在 \(E[x]\) 中不可约但在 \(D[x]\) 中可约，也可能在 \(D[x]\) 中不可约但在 \(E[x]\) 中可约.
设 \(D\) 是唯一分解整环，\(f = \sum_{i = 0}^n a_ix^i \in D[x]\)，则 \(f\) 的容度(content) 是 \(f\) 的系数的最大公因子，记作 \(\mathrm{C}(f)\)，其在相伴意义下是唯一的。记 \(a, b\) 相伴为 \(a \approx b\)，则 \(\approx\) 是 \(D\) 上的等价关系。因为 \(D\) 是整环，所以 \(a \approx b \Leftrightarrow a = bu\)，其中 \(u\) 是 \(D\) 中单位。若 \(a \in D\) 且 \(f \in D[x]\)，则有 \(C(af) \approx aC(f)\)。而若 \(f \in D[x]\) 且 \(C(f)\) 是 \(D\) 中单位，则称 \(f\) 为本原多项式(primitive polynomial)。显然，对每个多项式 \(g \in D[x]\)，存在本原多项式 \(f \in D[x]\) 使得 \(g = \mathrm{C}(g)f\)。
定理
(Gauss) 若 \(D\) 是唯一分解整环且 \(f, g \in D[x]\)，则 \(C(fg) \approx C(f)C(g)\). 特别地，本原多项式的乘积仍是本原多项式 .
证明
设 \(f = C(f)f_1, g = C(g)g_1\)，\(f_1, g_1\) 是本原多项式，则 \(C(fg) = C(C(f)f_1C(g)g_1) \approx C(f)C(g)C(f_1g_1)\). 从而我们只要证明 \(f_1g_1\) 是本原多项式，也就是 \(C(f_1g_1)\) 是单位即可 . 设 \(f_1 = \sum_{i = 0}^n a_ix^i, g_1 = \sum_{j = 0}^m b_jx^j\)，则 \(f_1g_1 = \sum_{k = 0}^{n + m} c_kx^k\)，其中 \(c_k = \sum_{i + j = k} a_ib_j\). 若 \(f_1g_1\) 不是本原多项式，则 \(D\) 中存在不可约元 \(p\)，使得 \(p \mid c_k, \forall k\). 因为 \(C(f_1)\) 是单位，所以 \(p \not \mid C(f_1)\)，从而存在整数 \(s\)，使得 \(p \mid a_i, i < s\)，但 \(p \not \mid a_s\). 类似地，存在整数 \(t\)，使得 \(p \mid b_j, j < t\)，但 \(p \not \mid b_t\). 于是 \(p \mid c_{s + t} = a_0b_{s +t} + \cdots + a_{s - 1}b_{t + 1} + a_sb_t + a_{s + 1}b_{t - 1} + \cdots +a_{s + t}b_0\)，所以 \(p \mid a_sb_t\)，但 \(D\) 中的不可约元是素元，从而有 \(p \mid a_s\) 或 \(p \mid b_t\)，矛盾 . 所以 \(f_1g_1\) 是本原多项式，即 \(C(fg) \approx C(f)C(g)\).
下面两条引理是关于本原多项式在分式域上的刻画。
引理
(i) 设 \(D\) 是唯一分解整环，其分式域为 \(F\). 设 \(f, g\) 是 \(D[x]\) 中的本原多项式，则 \(f, g\) 在 \(D[x]\) 中相伴等价于 \(f, g\) 在 \(F[x]\) 中相伴 .
(ii) 设 \(D\) 是唯一分解整环，其分式域为 \(F\)，\(f \in D[x]\) 是正次数的本原多项式，则 \(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约等价于 \(f\) 在 \(F[x]\) 中不可约.
然后来到了我们的最终定理和判别法。
定理
(i) 若 \(D\) 是唯一分解整环，则多项式环 \(D[x_1, \ldots, x_n]\) 也是唯一分解整环 .
(ii) (Eisenstein's Criterion) 设 \(D\) 是唯一分解整环，分式域为 \(F\). 若 \(f = \sum_{i = 0}^n a_ix^i \in D[x]\)，\(\operatorname{\mathrm{deg}} \geqslant 1\)，且 \(p\) 是 \(D\) 中的不可约元，使得 \(p \not \mid a_n, p \mid a_i(0 \leqslant i \leqslant n-1), p^2 \not \mid a_0\)，则 \(f\) 在 \(F[x]\) 中不可约. 若 \(f\) 是本原的，则 \(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约.