投射摸和内射模 ¶

这两个名字其实挺形象的，先看定义。

定义

环 \(R\) 上的模 \(P\) 被称为投射模(projective module)，是指任意给下面一个 \(R\)- 模同态图表

并且底行都是正合的，也就是说 \(g\) 是满射，都存在 \(R\)-模同态 \(h: P \rightarrow A\) 使得 \(g \circ h = f\).

这个定义就是在说存在 \(h\) 使得下面的图表交换。

这图看着就像投射下了两个映射，\(P\) 叫投射摸也 ~~显而易见了~~。

问题

证明如下命题： (a) 如果 \(R\) 是含幺模而 \(A\) 是 \(R\)-模，则 \(A\) 有子模 \(B\) 和 \(C\) 使得 \(B\) 是幺作用模，\(RC = 0\) 并且 \(A = B \oplus C\). (提示：令 \(B = \langle 1_Ra \mid a \in A \rangle\)，\(C = \langle a \in A \mid 1_Ra = 0 \rangle\). 并且注意对于每个\(a \in A\)，\(a - 1_Ra \in C\).)
(b) 设 \(A_1\) 为另一个 \(R\)-模，且 \(A_1 = B_1 \oplus C_1\)，其中 \(B_1\) 是幺作用模，\(RC_1 = 0\). 如果 \(f: A \rightarrow A_1\) 是 \(R\)-模同态，则 \(f(B) \subset B_1\)，\(f(C) \subset C_1\).
(c) 如果 (b) 中的映射 \(f\) 是满同态或同构，则 \(f \mid B: B \rightarrow B_1\) 和 \(f \mid C: C \rightarrow C_1\) 也是满同态或同构.

首先，如果 \(R\) 是含幺环，\(P\) 是幺作用模，则 \(P\) 是投射模等价于对于每一对幺作用模 \(A, B\) 和 \(R\)- 模同态的图表

其中 \(g\) 是满射，都存在 \(R\)-模同态 \(h: P \rightarrow A\) 使得 \(g \circ h = f\).
由上面的问题可知 \(A = A_1 \oplus A_2\), \(B = B_1 \oplus B_2\)，其中 \(A_1, B_1\) 是幺作用模，\(A_2, B_2\) 是 \(R\)-模，且 \(R(A_2) = 0 = R(B_2)\). \(P\) 如果自身是幺作用模就有 \(P_1 = P, P_2 = 0\)，所以有 \(f(P) = f(P_1) \subset B_1\). \(g\) 是满同态有 \(g \mid A_1: A_1 \rightarrow B_1\) 是满同态。我们可以将原图限制到幺作用模的图表上去：

于是，存在 \(R\)-模同态 \(h: P \rightarrow A\) 使得 \(g \circ h = f\) 等价于存在 \(R\)-模同态 \(h: P \rightarrow A_1\) 使得 \((g \mid A_1) \circ h = f\).

定理

含幺环 \(R\) 上的自由模 \(F\) 是投射模 .

一个显然的推论。

推论

环 \(R\) 上的每个模 \(A\) 都是某个投射 \(R\)- 模的同态像 .

定理

（投射摸的等价条件）设 \(R\) 是环。关于 \(R\)- 模 \(P\) 的下列条件等价：
(i) \(P\) 是投射模;
(ii) 每个短正合序列 \(0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} P \rightarrow 0\) 都是分裂正合序列，从而 \(B \cong A \oplus P\);
(iii) 存在自由 \(R\)-模 \(F\) 和 \(R\)-模 \(K\)，使得 \(F \cong P \oplus K\).

证明

(i) \(\Rightarrow\) (ii) 考虑图表

由假设可知底部是正合的。由投射模的定义可知存在 \(R\)-模同态 \(h: P \rightarrow B\) 使得 \(g \circ h = 1_P\). 从而可知短正合序列 \(0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \overset{g}{\underset{h}{\rightleftarrows}} P \rightarrow 0\) 是分裂正合序列，也就有 \(B \cong A \oplus P\).
(ii) \(\Rightarrow\) (iii) 因为每个 \(R\)-模都是某个自由 \(R\)-模的同态像，所以存在自由 \(R\)-模 \(F\) 和满同态 \(g: F \rightarrow P\). 如果 \(K = \operatorname{Ker} g\)，则序列 \(0 \rightarrow K \rightarrow F \xrightarrow{g} P \rightarrow 0\) 是正合的，从而由假设是分裂正合的，故 \(F \cong K \oplus P\).
(iii) \(\Rightarrow\) (i) 设 \(\varphi\) 是复合映射 \(F \cong P \oplus K \xrightarrow{\pi} P\), \(\psi\) 是复合映射 \(P \xrightarrow{\iota} P \oplus K \cong F\). 给出 \(R\)-模同态图表并且底行是正合的. 考虑图表
因为 \(F\) 是投射模，从而有 \(R\)-模同态 \(h: F \rightarrow A\)，使得 \(gh = f\varphi\). 令 \(h' = h\psi: P \rightarrow A\)，则 \(gh' = gh\psi = f\varphi\psi = f(\varphi\psi) = f1_P = f\)，从而 \(P\) 是投射摸.

命题

设 \(R\) 是环，\(R\)- 模直和 \(\sum_{i \in I} P_i\) 是投射模的充要条件是每个 \(P_i\) 都是投射模 .

证明

\((\Rightarrow)\) 在上一证明的 (iii) \(\Rightarrow\) (i) 中，令 \(F = \sum_{i \in I} P_i\)，\(K = \sum_{i \neq j} P_i\)，\(P = P_j\)，则可以得到 \(P_j\) 是投射模 .
\((\Leftarrow)\) 考虑图表

若每个 \(P_i\) 都是投射模，则存在 \(R\)-模同态 \(h_j: P_j \rightarrow A\) 使得 \(gh_j = f\varphi_j\). 从而存在唯一的 \(R\)-模同态 \(h: \sum P_i \rightarrow A\) 使得 \(h\varphi_j = h_j\)，从而 \(gh = f\)，即 \(\sum P_i\) 是投射模.

定义投射摸的对偶概念。

定义

环 \(R\) 上的模 \(J\) 被称为内射模(injective module)，是指任意给下面一个 \(R\)- 模同态图表

并且顶行都是正合的，也就是说 \(g\) 是单射，都存在 \(R\)-模同态 \(h: B \rightarrow J\) 使得 \(h \circ g = f\).
这个定义就是在说存在 \(h\) 使得下面的图表交换。

依赖于对偶性，我们也能证明前面部分命题的对偶命题。

命题

设 \(R\) 是环，\(R\)- 模直积 \(\prod_{i \in I} P_i\) 是内射模的充要条件是每个 \(P_i\) 都是内射模 .

因为自由模不存在对偶概念，所以内射模没有类似于投射摸和自由模之间联系的命题。但考虑每个模都是某个投射模的同态像，事实上是对于每个模 \(A\)，存在一个投射模 \(P\) 和正合列 \(P \rightarrow A \rightarrow 0\)，其对偶应当是，对于每个模 \(A\)，存在一个内射模 \(J\) 和正合列 \(0 \rightarrow A \rightarrow J\)，也就是说，每个模都能被嵌入某个内射模中。这个命题的证明需要一些准备工作。

引理

设 \(R\) 是含幺环 . 则幺作用 \(R\)- 模 \(J\) 是内射模的充要条件是对于 \(R\) 的每个左理想 \(L\)，\(R\) 模同态 \(L \rightarrow J\) 均可以被扩张到 \(R\)- 模同态 \(R \rightarrow J\).

定义

阿贝尔群 \(D\) 被称作可除的(divisible)，是指对于任意给定的 \(y \in D\) 和 \(0 \neq n \in \mathbf{Z}\)，都存在 \(D\) 中的元素 \(x\) 使得 \(nx = y\). 不难证明，阿贝尔群的直和是可除群当且仅当每个直和分量都是可除群 . 同时可以证明，每个可除群的同态像都是可除群 .

引理

阿贝尔群 \(D\) 是可除群等价于 \(D\) 是内射 ( 幺作用 ) \(\mathbf{Z}\)- 模 .

证明

\((\Rightarrow)\) 设 \(D\) 是可除群，注意到 \(\mathbf{Z}\) 的左理想均是循环群 \(\langle n \rangle\), \(n \in \mathbf{Z}\). 设 \(f: \langle n \rangle \rightarrow D\) 是同态，则存在 \(x \in D\) 使得 \(nx = f(n)\). 定义 \(h: \mathbf{Z} \rightarrow D\), \(1 \mapsto x\)，则 \(h\) 是同态，且 \(h(n) = nx = f(n)\)，从而 \(h\) 是扩张 . 所以 \(D\) 是内射 \(\mathbf{Z}\)- 模 .
\((\Leftarrow)\) 设 \(D\) 是内射 \(\mathbf{Z}\)-模，\(y \in D\), \(0 \neq n \in \mathbf{Z}\)，定义 \(f: \langle n \rangle \rightarrow D\), \(n \mapsto y\)，则 \(f\) 是同态. 因为 \(D\) 是内射 \(\mathbf{Z}\)-模，所以存在 \(h: \mathbf{Z} \rightarrow D\) 使得下图交换

若 \(h(1) = x\)，则 \(h(n) = nx = f(n) = y\)，从而 \(D\) 是可除群.

引理

每个阿贝尔群均可以嵌入可除阿贝尔群中 .

若 \(R\) 是含幺环，而 \(J\) 是阿贝尔群，则 \(\operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\) 也是阿贝尔群，并可以验证，\(\operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\) 是幺作用左 \(R\)- 模，其中 \(R\) 作用为 \((rf)(x) = f(xr)\).

引理

如果 \(J\) 是可除阿贝尔群，\(R\) 是含幺环，则 \(\operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\) 是内射左 \(R\)- 模 .

证明

我们只需要证明，对于 \(R\) 的每一个左理想 \(L\)，任意 \(R\)- 模同态 \(f: L \rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\) 都可以扩张到 \(R\)- 模同态 \(h: R \rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\). 由 \(g(a) = [f(a)](1_R)\) 给出的映射 \(g: L \rightarrow J\) 是同态 . 因为 \(J\) 是可除群，所以 \(J\) 是内射 \(\mathbf{Z}\)- 模，并且有图表

从而有群同态 \(\bar{g}: R \rightarrow J\) 使得 \(\bar{g} \mid L = g\). 定义 \(h: R \rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(R, J)\), \(r \mapsto h(r)\)，其中 \([h(r)](x) = \bar{g}(xr)\). 验证 \(h\) 的良定义性，验证 \(h\) 是群同态.

命题

(i) 含幺环 \(R\) 上的每个幺作用模 \(A\) 均可以嵌入某个内射 \(R\)- 模中 .
(ii) 设 \(R\) 是含幺环，则关于幺作用 \(R\)-模 \(J\) 的下列条件等价：
(a) \(J\) 是内射模;
(b) 每个短正合序列 \(0 \rightarrow J \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0\) 都是分裂正合序列，从而 \(B \cong J \oplus C\);
(c) 如果 \(J\) 是某个 \(R\)-模 \(B\) 的子模，则 \(J\) 是 \(B\) 的直和因子.