分裂域 代数闭包 正规性 ¶

归纳法证明。当 \(n = 1\) 或 \(f\) 在 \(K\) 上分裂时，\(F = K\)。
当 \(n > 1\) 且 \(f\) 在 \(K\) 上不分裂时，令 \(g \in K[x]\) 是 \(f\) 的一个次数大于 \(1\) 的不可约因子，可知存在一个单扩张 \(K(u)\)，使得 \(u\) 是 \(g\) 的一个根，并且 \([K(u):K] = \operatorname{deg} g\)。所以 \(f = (x - u)h\)，其中 \(h \in K(u)[x]\) 且次数为 \(n - 1\)。根据归纳假设，存在 \(h\) 的分裂域 \(F\)，且 \([F:K(u)] \leqslant (n - 1)!\)。所以 \([F:K] = [F:K(u)][K(u):K] \leqslant n!\)。

(i) \(\Rightarrow\) (iii)：域上的 \(1\) 次多项式都是不可约的。设 \(f\) 为 \(F[x]\) 中的不可约多项式，其存在一个根 \(a\)，所以 \(f\) 是 \(x - a\) 的倍数，而考虑到 \(f\) 是不可约的，所以 \(f = k(x - a)\)，其中 \(k \in F - \{0\}\)。
(iii) \(\Rightarrow\) (ii)：域上的多项式都可以分解为不可约多项式的乘积，而不可约多项式次数均为 \(1\)，所以每个非常数多项式都在 \(F\) 上分裂。
(ii) \(\Rightarrow\) (i)：显然。

(i) \(\Rightarrow\) (ii) and (iii): 设 \(u \in F\) 对应的极小多项式为 \(f \in K[x]\)，则可使用如下的证明（取 \(E = F\)）：

考虑 \(u \in E\)，因为 \(E\) 在 \(K\) 上是代数的，所以设 \(f \in K[x]\) 是 \(u\) 的极小多项式，并且令 \(u = u_1\). \(u_1, u_2, \ldots, u_r\) 是 \(f\) 在 \(E\) 中的所有互异的根，易知 \(r \leqslant n = \operatorname{deg} f\)。设 \(\tau \in \operatorname{Aut}_K E\)，则 \(\tau\) 对 \(\{u_i\}\) 的作用是一个置换，所以首一多项式 \(g = \prod_{i = 1}^r (x - u_i)\) 的系数都被 \(\tau\) 固定。又因为 \(E\) 在 \(K\) 上是 Galois 的，所以 \(g \in K[x]\)。而 \(u = u_1\) 是 \(g\) 的一个根，因此 \(f \mid g\)。又因为 \(g\) 是首一的并且 \(\operatorname{deg} g \leqslant \operatorname{deg} f\)，所以 \(f = g\)，从而 \(f\) 的所有根是互不相同并且全部落在 \(E\) 中的。

来证明 \(f\) 在 \(F\) 上分裂成了互异的一次因子的乘积，也就说明了 \(u\) 是可分的。而设 \(\{v_i \mid i \in I\}\) 是 \(F\) 在 \(K\) 上的一组基，令 \(f_i \in K[x]\) 是 \(v_i\) 的极小多项式（\(i \in I\)），可知 \(f_i\) 在 \(F[x]\) 中均是可分的，并且分裂。所以 \(F\) 是 \(S = \{f_i \mid i \in I\}\) 在 \(K\) 上的分裂域。
(ii) \(\Rightarrow\) (iii): 设 \(f \in S\)，而 \(g \in K[x]\) 是 \(f\) 的一个首一不可约因子。因为 \(f\) 在 \(F\) 上分裂，所以 \(g\) 是某个 \(u \in F\) 的极小多项式。而 \(f\) 在 \(F\) 上是可分的，所以 \(g\) 也是可分的。设 \(S = \{f_i\}\)，按照如上构造对应获得的多项式集合为 \(T = \{g_i\}\)，则 \(F\) 是 \(T\) 在 \(K\) 上的分裂域，并且 \(T\) 中的每个多项式都是可分的。
(iii) \(\Rightarrow\) (i): \(F\) 在 \(K\) 上是代数的，因为 \(K\) 上的任何分裂域都是代数扩张。考虑 \(u \in F - K\)，根据分裂域的定义以及

(vii) 对于每个 \(v \in K(X)\)( 或 \(v \in K[X]\))，均存在 \(X\) 的有限子集 \(X'\)，使得 \(v \in K(X')\)( 或 \(v \in K[X']\)).

可知 \(u \in K(v_1, \ldots, v_n)\)，其中 \(v_i\) 是某个 \(f_i \in T\) 的根。因此 \(u \in E = K(u_1, \ldots, u_r)\)，其中 \(u_i\) 是 \(f_1, \ldots, f_n\) 在 \(F\) 中的所有根，进而 \([E:K]\) 是有限的。因为每个 \(f_i\) 都在 \(F\) 上分裂，所以 \(E\) 是有限集合 \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) 在 \(K\) 上的分裂域。若假定定理对有限维是成立的，那么 \(E\) 在 \(K\) 上便是 Galois 的，从而存在 \(\tau \in \operatorname{Aut}_K E\)，使得 \(\tau u \neq u\)。而

如果 \(F\) 是 \(S\) 在 \(K\) 上的分裂域，而 \(E\) 是中间域，则 \(F\) 也是 \(S\) 在 \(E\) 上的分裂域。

所以 \(F\) 也是 \(T\) 在 \(E\) 上的分裂域，所以 \(\tau\) 可以扩充为一个自同构 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F\)，使得 \(\sigma u = \tau u \neq u\)。因此 \(u (\in F - K) \notin G'\)，所以 \(F\) 是 \(K\) 的一个 Galois 扩张。
这表明我们只需要在 \([F:K]\) 有限的情况下证明定理即可。此时存在有限多个多项式 \(g_1, \ldots, g_n \in T\)，使得 \(F\) 是 \(\{g_1, \ldots, g_t\}\) 在 \(K\) 上的分裂域，并且有 \(\operatorname{Aut}_K F\) 是有限的。设 \(K_0\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的固定域，那么根据 Artin 定理与 Galois 基本定理，\(F\) 是 \(K_0\) 的 Galois 扩张，并且 \([F:K_0] = \lvert \operatorname{Aut}_K F \rvert\)。所以，为了证明 \(F\) 是 \(K\) 的 Galois 扩张，只需要证明 \([F:K] = \lvert \operatorname{Aut}_K F \rvert\)。
这部分证明采用归纳法。设 \([F:K] = n\)，\(n = 1\) 是平凡的。若 \(n > 1\)，则必有某个 \(g_i\)（设为 \(g_1\)）的次数 \(s > 1\)。设 \(u \in F\) 是 \(g_1\) 的根，所以 \([K(u):K] = \operatorname{deg} g_1 = s\)。因为 \(g_1\) 是可分的，所以 \(g_1\) 共有 \(s\) 个根。使用如下的证明（取 \(L = K, M = K(u), f = g_1\)）：

设 \(\tau M'\) 是 \(M'\) 关于 \(L'\) 的一个左陪集，对于 \(\sigma \in M' = \operatorname{Aut}_M F\)，因为 \(u \in M\)，所以 \(\sigma(u) = u\)，也就有 \(\tau \sigma(u) = \tau(u)\)。这也就表明 \(\tau M'\) 中的所有元素对 \(u\) 的作用都是相同的，即 \(u \mapsto \tau(u)\). 而注意到 \(\tau \in L'\)，\(u\) 是 \(f \in L[x]\) 的根，所以 \(\tau(u)\) 也是 \(f\) 的根，这表明 \(\tau M' \mapsto \tau(u)\) 是良定义的。以下证明其是单射：设 \(\tau M' = \tau_0 M'(\tau, \tau_0 \in L')\)，所以 \(\tau_0^{-1}\tau(u) = u\)，即 \(\tau_0^{-1}\tau\) 固定 \(u\)，从而有 \(\tau_0^{-1}\tau\) 逐元素地固定 \(L(u) = M\)（代数扩张与基的关系），所以 \(\tau_0^{-1}\tau \in M'\)，即 \(\tau M' = \tau_0 M'\)，所以 \(\tau M' \mapsto \tau(u)\) 是单射。

存在从 \(H = \operatorname{Aut}_{K(u)} F\) 关于 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的全体左陪集组成的集合到 \(g_1\) 在 \(F\) 中的 \(s\) 个根所组成的集合的一个单射 \(\sigma H \mapsto \sigma(u)\)。所以 \([\operatorname{Aut}_K F : H] \leqslant s\)。若 \(v \in F\) 是 \(g_1\) 的另外一个根，则存在同构 \(\tau: K(u) \cong K(v)\)，使得 \(\tau(u) = v\) 且 \(\tau \mid_K = \operatorname{id}_K\)。因为 \(F\) 是 \(\{g_1, \ldots, g_t\}\) 在 \(K(u)\) 和 \(K(v)\) 上的分裂域，所以 \(\tau\) 可以扩充为一个自同构 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F\)，使得 \(\sigma(u) = v\)。所以，\(g_1\) 的每个根都是 \(H\) 的某个左陪集的像，所以 \([\operatorname{Aut}_K F : H] = s\)。进一步，

如果 \(F\) 是 \(S\) 在 \(K\) 上的分裂域，而 \(T\) 是 \(S\) 中多项式的全部不可约因子所组成的集合，则 \(F\) 也是 \(T\) 在 \(K\) 上的分裂域。

所以 \(F\) 是多项式集合 \(\{g_i\}\) 在 \(K(u)[x]\) 中的全部不可约因子 \(h_j\) 组成的集合在 \(K(u)\) 上的分裂域。显然 \(h_j\) 是可分的，因为 \(h_j\) 整除某个 \(g_i\)。因为 \([F:K(u)] = n/s < n\)，所以由归纳假设有 \([F: K(u)] = \lvert \operatorname{Aut}_{K(u)} F \rvert = \lvert H \rvert\)。所以有

命题得证。

首先证明所有中间域都是闭的。因为 \(F\) 是 \(K\) 上的代数 Galois 扩张，所以 \(F\) 是 \(K[x]\) 中某个可分正次数多项式集合 \(T\) 在 \(K\) 上的分裂域。设 \(E\) 是 \(F\) 的一个中间域，则有 \(F\) 也是 \(T\) 在 \(E\) 上的分裂域。所以 \(F\) 在 \(E\) 上是 Galois 的，从而 \(E\) 是闭的。
因为 \(F\) 是 \(K\) 上的代数扩张，所以 \(E\) 在 \(K\) 上也是代数的。由如下证明：

从而，如果 \(E\) 同时也是 \(K\) 上 Galois 的，那么便可以得到 \(E\) 是稳定的，对应有 \(E' = \operatorname{Aut}_E F\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的正规子群。而如果 \(E' = \operatorname{Aut}_E F\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的正规子群，那么 \(E''\) 是一个稳定中间域，而又知道 Galois 扩张的中间域都是闭的，所以 \(E'' = E\)，即 \(E\) 是稳定中间域，进而 \(E\) 是 \(K\) 上 Galois 的。

便可得到 \(E\) 在 \(K\) 上是 Galois 的 等价于 \(E' = \operatorname{Aut}_E F\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的正规子群。
因为 \(E\) 在 \(K\) 上是 Galois 的，并且 \(E'\) 是 \(\operatorname{Aut}_K F\) 的正规子群，所以 \(E\) 是稳定的，也就有 \(G/E' = \operatorname{Aut}_K F / \operatorname{Aut}_E F\) 同构于 \(E\) 的所有可延拓的 \(K\)-自同构所构成的群，其是 \(\operatorname{Aut}_K E\) 的子群。因为 \(F\) 是 \(K\) 上的分裂域，所以 \(F\) 也是 \(E\) 上的分裂域，也就是说 \(\operatorname{Aut}_K E\) 中的每个自同构都是可以延拓到 \(F\) 上的。所以 \(G/E' = \operatorname{Aut}_K F / \operatorname{Aut}_E F\) 同构于 \(\operatorname{Aut}_K E\)。

(i) \(\Rightarrow\) (ii): 设 \(\{u_i \mid i \in I\}\) 是 \(F\) 在 \(K\) 上的一组基，设 \(S = \{f_i\}\)，其中 \(f_i \in K[x]\) 是 \(u_i\) 的极小多项式。因为 \(F\) 在 \(K\) 上正规，所以 \(f_i\) 在 \(F\) 上分裂，所以 \(F\) 是 \(S\) 在 \(K\) 上的分裂域。
(ii) \(\Rightarrow\) (iii): 设 \(F\) 是 \(S = \{f_i \mid i \in I\}\) 在 \(K\) 上的分裂域，\(\sigma: F \to \overline{K}\) 是一个域的 \(K\)-单态。若 \(u\) 是 \(f_j\) 的一个根，那么 \(\sigma(u)\) 也是 \(f_j\) 的一个根。因为 \(f_j\) 在 \(F\) 上分裂，所以设 \(f_j = c(x - u_1) \cdots (x - u_n), u_i \in F, c \in K\)。因为 \(\overline{K}[x]\) 是唯一分解整环，所以对于任意 \(i = 1, \ldots, n\)，\(\sigma(u_i)\) 一定落在 \(u_1, \ldots, u_n\) 中的某一个上。因为 \(\sigma\) 是单射，所以其也只是一个置换。但 \(F\) 是由所有 \(f_j\) 的所有根在 \(K\) 上生成的，所以 \(\sigma(F) = F\)，也就有 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K F\)。
(iii) \(\Rightarrow\) (i): 设 \(\overline{K}\) 是 \(F\) 的一个代数闭包，所以 \(\overline{K}\) 是 \(K\) 的一个代数扩张，进而是 \(K\) 的一个包含 \(F\) 的代数闭包。设 \(f \in K[x]\) 是一个不可约多项式，其有一个根 \(u \in F\)，根据之前的构造方法可知 \(\overline{K}\) 包含 \(f\) 的全部根。设 \(v \in \overline{K}\) 是 \(f\) 的任意一个根，那么存在着域的 \(K\)-同构 \(\sigma: K(u) \cong K(v)\)，使得 \(\sigma(u) = v\)，其可以延拓为 \(\overline{K}\) 的 \(K\)-自同构。从而 \(\sigma \mid_F\) 是单态 \(F \to \overline{K}\)，并且有 \(\sigma(F) = F\)。因此 \(v = \sigma(u) \in F\)，所以 \(f\) 在 \(F\) 上分裂，从而 \(F\) 在 \(K\) 上正规。