度量空间 ¶

若取子集 \(Y \subset X\) 并将 \(d\) 限制在 \(Y \times Y\) 上，则可以得到 \((X, d)\) 的一个子空间 \((Y, \tilde{d})\)，其中

\(\tilde{d}\) 叫做 \(d\) 在 \(Y\) 上导出的度量。

度量空间的示例 ¶

1. 序列空间 \(l^\infty\)
   取所有有界的复数序列的集合作为 \(X\)，也就是说，\(X\) 中的每个元素都是形如

   \[ x = (\xi_1, \xi_2, \ldots) = (\xi_j) \]

   的复数序列，且对于 \(j = 1, 2, \ldots\) 有

   \[ \lvert x \rvert \leqslant c_x, \]

   其中 \(c_x\) 是依赖于 \(x\) 的实数，但是与 \(j\) 无关。我们在 \(X\) 上用

   \[ d(x, y) = \sup_{j \in N} \lvert \xi_j - \eta_j \rvert \]

   来定义度量，其中 \(y = (\eta_j) \in X\) 且 \(N = \{1, 2, \ldots\}\). 这样得到的度量空间通常被记作 \(l^\infty\)。因为 \(X\) 中的每个元素都是序列，所以 \(l^\infty\) 是一个序列空间。

2. 函数空间 \(C[a, b]\)
   我们取定义在闭区间 \(J = [a, b]\) 上的所有连续实值函数 \(x(t), y(t), \ldots\) 的集合作为基集 \(X\)，用

   \[ d(x, y) = \max_{t \in J} \lvert x(t) - y(t) \rvert \]

   在 \(X\) 上定义度量。这样得到的度量空间记为 \(C[a ,b]\)。因为 \(C[a ,b]\) 的每个点都是 一个函数，所以它是一个函数空间。

3. 序列空间 \(s\)
   这个空间的基集 \(X\) 是所有（有界的或无界的）复数序列的集合，其度量 \(d\) 定义为

   \[ d(x, y) = \sum_{j = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^j} \dfrac{\lvert \xi_j - \eta_j \rvert}{1 + \lvert \xi_j - \eta_j \rvert}, \]

   其中 \(x = (\xi_j), y = (\eta_j)\).
   容易知道公理 \(M_1 \sim M_3\) 是满足的，所以我们需要验证 \(M_4\). 定义如下取值于 \(R\) 的辅助函数

   \[ f(t) = \dfrac{t}{1 + t}. \]

   对其微分可得 \(f'(t) = 1/(1 + t)^2\)，而 \(\forall t \in \mathbf{R}\) 均有 \(f'(t) > 0\)，也就是说 \(f\) 是单调递增的，从而由

   \[ \lvert a + b \rvert \leqslant \lvert a \rvert + \lvert b \rvert \]

   可以推出

   \[ f(\lvert a + b \rvert) \leqslant f(\lvert a \rvert + \lvert b \rvert) \]

   将上述函数写出并应用关于数的三角不等式，便得到

   \[ \dfrac{\lvert a + b \rvert}{1 + \lvert a + b \rvert} \leqslant \dfrac{\lvert a \rvert + \lvert b \rvert}{1 + \lvert a \rvert + \lvert b \rvert} = \dfrac{\lvert a \rvert}{1 + \lvert a \rvert + \lvert b \rvert} + \dfrac{\lvert a \rvert}{1 + \lvert a \rvert + \lvert b \rvert} \leqslant \dfrac{\lvert a \rvert}{1 + \lvert a \rvert} + \dfrac{\lvert b \rvert}{1 + \lvert b \rvert}. \]

   令 \(a = \xi_j - \zeta_j, b = \zeta_j - \eta_j\)，其中 \(z = (\zeta_j)\)，则 \(a + b = \xi_j - \eta_j\)，并且有

   \[ \dfrac{\lvert \xi_j - \eta_j \rvert}{1 + \lvert \xi_j - \eta_j \rvert} \leqslant \dfrac{\lvert \xi_j - \zeta_j \rvert}{1 + \lvert \xi_j - \zeta_j \rvert} + \dfrac{\lvert \zeta_j - \eta_j \rvert}{1 + \lvert \zeta_j - \eta_j \rvert}. \]

   从而就有

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^j} \dfrac{\lvert \xi_j - \eta_j \rvert}{1 + \lvert \xi_j - \eta_j \rvert} \leqslant \sum_{j = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^j} \dfrac{\lvert \xi_j - \zeta_j \rvert}{1 + \lvert \xi_j - \zeta_j \rvert} + \sum_{j = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^j} \dfrac{\lvert \zeta_j - \eta_j \rvert}{1 + \lvert \zeta_j - \eta_j \rvert}. \]

   即所需要证明的三角不等式 \(M_4\)

   \[ d(x, y) \leqslant d(x, z) + d(z, y), \]

   从而证明了 \(s\) 是一个度量空间。

4. 有界函数空间 \(B(A)\)
   每个元素 \(x \in B(A)\) 都是定义在给定集合 \(A\) 上的有界函数。度量定义为

   \[ d(x, y) = \sup_{t \in A} \lvert x(t) - y(t) \rvert. \]

   在集合 \(A\) 是区间 \(A = [a, b] \subset \mathbf{R}\) 的情况下，\(B(A)\) 也写作 \(B[a, b]\)。
   易知 \(M_1\) 和 \(M_3\) 是满足的，\(d(x, x) = 0\) 也是显然的。而当 \(d(x, y) = 0\) 时，就有 \(\forall t \in A\) 满足 \(x(t) - y(t) = 0\)，所以 \(x = y\)，因此 \(M_2\) 也成立。而对于每个 \(t \in A\)，均有

   \[ \lvert x(t) - y(t) \rvert \leqslant \lvert x(t) - z(t) \rvert + \lvert z(t) - y(t) \rvert \leqslant \sup_{t \in A} \lvert x(t) - z(t) \rvert + \sup_{t \in A} \lvert z(t) - y(t) \rvert. \]

   因为右侧给出的上界值与 \(t\) 无关，所以对 \(\lvert x(t) - y(t) \rvert\) 可以取上界，也就得到 \(M_4\)。

5. 空间 \(l^p\), Hilbert 序列空间 \(l^2\)
   令 \(p \geqslant 1\) 是一个固定的常数。依据定义，空间 \(l^p\) 中的每个元素是使得 \(\lvert \xi_1 \rvert^p + \lvert \xi_2 \rvert^p + \ldots\) 收敛的数列 \(x = (\xi_1, \xi_2, \ldots) = (\xi_j)\)。因此

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \rvert^p < \infty. \]

   \(l^p\) 上的度量定义为

   \[ d(x, y) = \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j - \eta_j \rvert^p \right)^{1/p}, \]

   其中 \(y = (\eta_j) \in l^p\).
   在 \(p = 2\) 的情况下，便得到了著名的 Hilbert 序列空间 \(l^2\)，其度量定义为

   \[ d(x, y) = \sqrt{\sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j - \eta_j \rvert^2}. \]

   下面证明 \(l^p\) 是一个度量空间，整个过程如下：
   \((a)\) 建立辅助不等式；
   \((a) \Rightarrow (b)\) Hölder 不等式；
   \((b) \Rightarrow (c)\) Minkowski 不等式；
   \((c) \Rightarrow (d)\) 三角不等式。

   \((a)\) 令 \(p > 1\) 并且定义 \(q\) 满足

   \[ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1, \]

   则把 \(p\) 和 \(q\) 称为共轭指数。由上可以得到

   \[ 1 = \dfrac{p + q}{pq}, \ pq = p + q, \ (p - 1)(q - 1) = 1. \]

   因此 \(1/(p - 1) = q - 1\)，所以若令 \(u = t^{p - 1}\)，便有 \(t = u^{q - 1}\)。令 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 为两个任意的正数，因为 \(\alpha \beta\) 为下图中矩形的面积，故通过积分可得不等式

   \[ \alpha \beta \leqslant \int_0^\alpha t^{p - 1} \mathrm{d} t + \int_0^\beta u^{q - 1} \mathrm{d} u = \dfrac{\alpha^p}{p} + \dfrac{\beta^q}{q}. \enspace (*) \]

   当 \(\alpha = 0\) 或 \(\beta = 0\) 时，上式依然成立。

   图中的 \(1\) \(2\) 分别表示上一式中第一个积分和第二个积分的值。

   \((b)\) 令序列 \((\tilde{\xi}_j)\) 和 \((\tilde{\eta}_j)\) 分别满足

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \tilde{\xi}_j \rvert^p = 1, \ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \tilde{\eta}_j \rvert^q = 1. \enspace (\Delta) \]

   令 \(\alpha = \lvert \tilde{\xi}_j \rvert, \ \beta = \lvert \tilde{\eta}_j \rvert\)，代入 \((*)\) 式则有

   \[ \lvert \tilde{\xi}_j \tilde{\eta}_j \rvert \leqslant \dfrac{\lvert \tilde{\xi}_j \rvert^p}{p} + \dfrac{\lvert \tilde{\eta}_j \rvert^q}{q} \]

   对该不等式的两端关于 \(j\) 求和，便可以得到

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \tilde{\xi}_j \tilde{\eta}_j \rvert \leqslant \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1. \enspace (**) \]

   现在取任意非零序列 \(x = (\xi_j), y = (\eta_j) \in l^p\)，并且令

   \[ \tilde{\xi}_j = \dfrac{\lvert \xi_j \rvert}{\left( \sum_{k = 1}^{\infty} \lvert \xi_k \rvert^p \right)^{1/p}}, \ \tilde{\eta}_j = \dfrac{\lvert \eta_j \rvert}{\left( \sum_{m = 1}^{\infty} \lvert \eta_m \rvert^q \right)^{1/q}}. \]

   其满足 \((\Delta)\) 式，所以可以代入 \((**)\) 式，化简后可以得到

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \eta_j \rvert \leqslant \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \rvert^p \right)^{1/p} \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \eta_j \rvert^q \right)^{1/q}. \]

   这便是 Hölder 不等式。
   若 \(p = 2\) 则 \(q = 2\)，此时给出 Cauchy-Schwarz 不等式

   \[ \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \eta_j \rvert \leqslant \sqrt{\sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \rvert^2} \sqrt{\sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \eta_j \rvert^2}. \]

   \((c)\) 现在证明 Minowski 不等式。其形式如下：

   \[ \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j + \eta_j \rvert^p \right)^{1/p} \leqslant \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \xi_j \rvert^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{j = 1}^{\infty} \lvert \eta_j \rvert^p \right)^{1/p}. \]

   其中 \(x = (\xi_j), y = (\eta_j) \in l^p\)，且 \(p \geqslant 1\)。
   对于 \(p = 1\) 的情况，其可以从数的三角不等式推导出来。所以令 \(p > 1\)，并且定义 \(\xi_j + \eta_j = \omega_j\)，则由数的三角不等式可得

   \[ \lvert \omega_j \rvert^p = \lvert \xi_j + \eta_j \rvert \lvert \omega_j \rvert^{p - 1} \leqslant (\lvert \xi_j \rvert + \lvert \eta_j \rvert) \lvert \omega_j \rvert^{p - 1}. \]

   上式两端对 \(j\) 从 \(1\) 到任一固定的 \(n\) 求和，便得

   \[ \sum \lvert \omega_j \rvert^p \leqslant \sum \lvert \xi_j \rvert \lvert \omega_j \rvert^{p - 1} + \sum \lvert \eta_j \rvert \lvert \omega_j \rvert^{p - 1}. \]

   对上式右端第一个和式应用 Hölder 不等式，可得

   \[ \sum \lvert \xi_j \rvert \lvert \omega_j \rvert^{p - 1} \leqslant \left( \sum \lvert \xi_k \rvert^p \right)^{1/p} \left( \sum \lvert \omega_m \rvert^{(p - 1)q} \right)^{1/q}. \]

   因为 \(p + q = pq\)，所以有 \((p - 1)q = p\)，从而上式右端可简化。对右端第二个和式做类似的处理，可得

   \[ \sum \lvert \eta_j \rvert \lvert \omega_j \rvert^{p - 1} \leqslant \left( \sum \lvert \eta_k \rvert^p \right)^{1/p} \left( \sum \lvert \omega_m \rvert^p \right)^{1/q}. \]

   合在一起便得到

   \[ \sum \lvert \omega_j \rvert^p \leqslant \left(\left( \sum \lvert \xi_k \rvert^p \right)^{1/p} + \left( \sum \lvert \eta_k \rvert^p \right)^{1/p}\right) \left( \sum \lvert \omega_m \rvert^p \right)^{1/q}. \]

   上式两侧同除 \(\left( \sum \lvert \omega_j \rvert^p \right)^{1/q}\)，因为 \(1 - 1/q = 1/p\)，所以可以得到

   \[ \left(\sum \lvert \omega_j \rvert^p \right)^{1/p} \leqslant \left( \sum \lvert \xi_j \rvert^p \right)^{1/p} + \left( \sum \lvert \eta_j \rvert^p \right)^{1/p}. \]

   再令 \(n \to \infty\)，并且考虑右侧两个级数的收敛性（\(x, y \in l^p\)），所以左侧级数收敛，便得到了 Minkowski 不等式。

   \((d)\) 最后证明三角不等式。对于 \(x = (\xi_j), y = (\eta_j), z = (\zeta_j) \in l^p\)，依据数的三角不等式和 Minowski 不等式，可以得到

   \[\begin{align} d(x, y) = \left(\sum \lvert \xi_j - \eta_j \rvert^p \right)^{1/p} &{} \leqslant \left(\sum (\lvert \xi_j - \zeta_j \rvert + \lvert \zeta_j - \eta_j \rvert)^p \right)^{1/p} \\ &{} \leqslant \left(\sum \lvert \xi_j - \zeta_j \rvert^p \right)^{1/p} + \left(\sum \lvert \zeta_j - \eta_j \rvert^p \right)^{1/p} \\ &{} = d(x, z) + d(z, y). \end{align}\]

   这就证明了 \(l^p\) 是一个度量空间。

6. 离散度量空间
   任意取一集合 \(X\)，并且定义其上的离散度量为

   \[ d(x, x) = 0, \ d(x, y) = 1(x \neq y). \]

   空间 \((X, d)\) 便被称为离散度量空间。虽然其很少被应用，但我们会用其来说明一些概念。

开集、闭集和邻域 ¶

首先考虑度量空间 \(X = (X, d)\) 中的一些重要类型的子集。

半径为 \(\varepsilon\) 的开球 \(B(x_0, \varepsilon)\) 也被称为 \(x_0\) 的 \(\varepsilon\)- 邻域。所谓 \(x_0\) 的邻域，是指 \(X\) 含有 \(x_0\) 的一个 \(\varepsilon\)- 邻域的任意子集。

若 \(M \subset X\) 是 \(x_0\) 的一个邻域，则称 \(x_0\) 是 \(M\) 的内点。\(M\) 的所有内点构成的集合称为 \(M\) 的内部，记作 \(\operatorname{Int}(M).\) \(M\) 的内部是 \(M\) 的最大开子集。

若把 \(X\) 的所有开子集构成的集族记为 \(\mathscr{T}\)，则不难证明 \(\mathscr{T}\) 满足以下性质：

\((T_1)\) \(\varnothing \in \mathscr{T}, \ X \in \mathscr{T}\)；
\((T_2)\) \(\mathscr{T}\) 中任意个成员之并仍在 \(\mathscr{T}\) 中；
\((T_3)\) \(\mathscr{T}\) 中任意两个成员之交仍在 \(\mathscr{T}\) 中。

\(T_1 \sim T_3\) 是非常根本的性质，所以我们可以期待在推广到一般的情况下，这些性质仍然成立。所以，我们定义：给定集合 \(X\) 和 \(X\) 的满足公理 \(T_1 \sim T_3\) 的子集族 \(\mathscr{T}\)，则称 \((X, \mathscr{T})\) 为拓扑空间，集合 \(\mathscr{T}\) 叫做 \(X\) 的一个拓扑。

在研究连续映射时，开集也起着重要的作用，而这里的连续性是微积分中连续性概念的一个自然推广，定义如下：

连续映射也可以用开集的术语表征如下：

令 \(M\) 是度量空间 \(X\) 的一个子集，若点 \(x_0 \in X\) 的每个邻域至少含有一个异于 \(x_0\) 的点 \(y \in M\)，则 \(x_0\) 叫作 \(M\) 的聚点。\(M\) 的所有点和所有聚点构成的集合称为 \(M\) 的闭包，记作 \(\overline{M}\). \(M\) 的闭包是包含 \(M\) 的最小闭集。

下面给出度量空间中的球的另一个不同寻常的性质：